力学的エネルギー保存則

気を取り直して再開。

物体mを地表から重力 $m \bf{g} = (0,0,-mg)$ に逆らって高さh まで持ち上げるとき、持ち上げるためにした仕事は
$\Large \int_{C} \bf{F}\cdot d\bf{r} = \int_{0}^{h} mg dz = mgh$
となる。ただし鉛直上向きに座標軸 z を取った。
物体m には一定の重力 $m \bf{g}=(0,0,-mg)$ が働いている。これをゆっくり持ち上げるとき、瞬間瞬間には力がつりあっていると考えるので、作用反作用の法則により、上向きに $-m \bf{g}=(0,0,mg)$ の力をかけていることになるので上の式になる。
重力は位置によらず一定で、水平方向には力は働いていないので、経路によらず高さh まで持ち上げるのに必要な仕事は mghとなる。
仕事が経路によらない力を保存力と呼ぶ。

重力の作用の下、初速 $v_{0}$ で高さ $z = z_{0}$ から真上に投げられた物体 $m$ が高さ $z$ で速さ $v$ を持つとすると、仕事(重力のする仕事)と運動エネルギー変化の関係式より、
$\Large \frac{m v^{2}}{2} - \frac{m v_{0}^{2}}{2} = \int_{C} \bf{F}\cdot d\bf{r} = \int_{z_{0}}^{z} (-mg) dz = -mg(z - z_{0}) = -mgz + mgz_{0}$
この式より、
$\Large \frac{m v^{2}}{2} + mgz = \frac{m v_{0}^{2}}{2} + mgz_{0}$
が成り立つ。
$\Large \frac{m v^{2}}{2}$
を運動エネルギーと呼んだ。
$\Large mgz$
を位置エネルギーまたはポテンシャルエネルギー
と呼ぶ。
上の式は物体mに重力だけが作用しているとき、任意の位置で「運動エネルギー＋位置エネルギーは一定」であることを示しており、力学的エネルギー保存則と呼ばれる。