逆関数定理の応用 - 第2kame日記

松本「多様体の基礎」が§10に入りだんだん難しくなっていく。
説明が丁寧すぎてかえってポイントがわかりにくくなっているのかもしれない。
定理の証明を何度も見直し、ようやく接空間のイメージがわいてきた。
§10では逆関数定理、陰関数定理の証明の後、２つの定理が述べられて終わる。
ともに m次元 C^r級多様体 M から n次元 C^r級多様体 N への C^r級写像
$\Large f: M \rightarrow N$
に関する定理で、f の微分
$\Large (df)_{p}: T_{p}(M) \rightarrow T_{f(p)}(N)$
のrank が n で、onto の場合と 1:1 の場合の写像 f の p の近傍での局所座標表示に関する定理である。
前者が射影、後者が包含写像。
ともに逆関数定理により存在することが保障される p と f(p)の近傍の間の微分同相写像をうまく使っているなあと思った。