逆関数定理の証明（つづき）

$\Large f:R^{m} \rightarrow R^{m}$
は $C^{r}$ 級で $f(0) = 0$ を満たし、f の点0におけるヤコビ行列 $(Jf)_{0}$ が単位行列になる場合の逆関数定理の証明のポイントメモ。
一般の場合はこの場合から容易に導ける。

$\Large (Jf)_{0} = \bf{1}_{m}$
であるから
$\Large {\det {(Jf)_{0}}} = 1 \neq 0$
である。
$\bf{x} \in R^{m}$ が十分 $\bf{0}$ に近いとき、 $(Jf)_{\bf{x}}$ は $(Jf)_{\bf{0}}$ に十分近い。なぜならば f は $C^{r}$ 級なので
$\Large \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}(\bf {x})$
は $\bf{0}$ で連続であるから。
このことを使うと、 $U$ を半径rの十分小さな $\bf{0}$ を中心とする開円板としたとき、
$\Large f:U\rightarrow V=f(U)$
は単射であることを証明できる。
$\bf{a},\bf{b} \in U, \bf{a} \neq \bf{b}$ に対し $f(\bf{a})\neq f(\bf{b})$ を示せれば、f は単射である。
$\Large f(\bf{b}) - f(\bf{a}) \neq \bf{0}$
を示せばよいが、そのためには
$\Large f(\bf{x}) = \left( \begin{array}{ccc} f_{1}(\bf{x}) \\ \vdots \\ f_{m}(\bf{x}) \\ \end{array} \right)$
と f を成分表示したとき、どれか一つの $f_{k}$ について
$\Large f_{k}(\bf{a}) - f_{k}(\bf{b}) \neq 0$
を示せばよい。
$\bf{a}$ と $\bf{b}$ を結ぶ線分は $U$ に含まれている。その線分を
$\Large c(t) = (1-t)\bf{a} + t\bf{b} = \bf{a} + t(\bf{b - a})$
とする。
この線分上で $f_{k}$ がとる値を
$\Large \varphi(t) = f_{k}(c(t)) = f_{k}(\bf{a} + t(\bf{b -a}))$
とする。このとき、
$\Large \varphi(0) = f_{k}(\bf{a}), \varphi(1) = f_{k}(\bf{b})$
である。すると、
$\Large f_{k}(\bf{b}) - f_{k}(\bf{a}) = \varphi(1) - \varphi(0) = \int_{0}^{1} \frac{d\varphi(t)}{dt} dt$
となる。このように積分を利用するのがテクニックらしい。

$\Large \frac{d\varphi(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(f_{k}(c(t)) = \Sigma_{j}(\frac{\partial {f_{k}}}{\partial {x_j}}) (\frac{d}{dt}(c_j(t)) = \Sigma_{j}(\frac{\partial {f_{k}}}{\partial {x_j}})h_j$
ここで、 $\bf{b}-\bf{a} = \{h}$ とした。
$(Jf)_{\bf{x}}$ が単位行列の近傍に含まれることからヤコビ行列 $(Jf)_{\bf{x}}$ の各成分 $\frac{\partial{f_{k}}}{\partial{x_{j}}}$ は $\delta_{j}^{k}$ にとっても近いことを使うと、 $f(\bf{b}) - f(\bf{a}) \neq \bf{0}$ が示せる。