逆関数定理の証明 - 第2kame日記

M, N をそれぞれ $C^{r}$ 級微分可能多様体で、 $dim M = m, dim N = n$ とする。
$f: M \rightarrow N$ を $C^{r}$ 級写像とする。
$(df)_{p}: T_{p}(M) \rightarrow T_{f(p)}(N)$ が同型ならば、
p の開近傍 U と f(p) の開近傍 V があり、 $f(U) = V$ で $f|_{U}$ は $C^{r}$ 級diffeomorphism である。
すなわち $f$ の逆写像 $f^{-1}$ が存在する。

M, N の座標近傍を適当にとると、対応する $T_{p}(M), T_{f(p)}(N)$ の基底に関して $(df)_{p}$ はヤコビ行列 $(Jf)_{p}$ で表現できる。したがって $(df)_{p}$ が同型であるということは、ヤコビ行列 $(Jf)_{p}$ の逆行列が存在するということで $det{(Jf)_{p}} \neq 0$ に同値。
そこで微積分の言葉に翻訳すると、 $C^{r}$ 級多変数ベクトル値関数 f が与えられたとき、その点pにおけるヤコビアンを計算して 0 でなければ、p の近傍で f の逆関数も存在してそれは $C^{r}$ 級ですということを言っている。

この定理の証明がやたらに長い。