前層 - 第2kame日記

第5章に入る。
リーマン面 $X$ の領域 $U$ 上の正則関数全体の集合 $\cal{O}_{X}(U)$ は、関数の自然な加法と複素数倍によって $\mathbb{C}$ 線形空間とみなせる。領域 $U$ を決めるとそれに付随してその上の正則関数の集合が定まるが、これを抽象化して、一般の位相空間上の前層なるものを定義する。

$X$ を位相空間、 $\cal{U}$ を $X$ の開集合全体の族とする。
$\forall U \in \cal{U}$ に対し $\cal{F}(U)$ なる $\mathbb{C}$ 線形空間が定まり、さらに $V \subset U$ なる任意の $U,V \in \cal{U}$ に対して制限写像と呼ばれる
$\displaystyle r_{UV}^{\cal{F}}: \cal{F}(U) \to \cal{F}(V)$
の写像が定まって、以下の(1)〜(3)を満たすとする。このとき
$\displaystyle \cal{F}:= \{\cal{F}(U),r_{UV}^{\cal{F}}\}$
を $X$ 上の( $\mathbb{C}$ 線形空間の)前層と呼ぶ。
(1) $\displaystyle \cal{F}(\emptyset):= \{0\}$
(2) $\displaystyle r_{UU}^{\cal{F}} = id_{\cal{F}(U)}$
(3) $\displaystyle W \subset V \subset U \Rightarrow r_{WU}^{\cal{F}} = r_{WV}^{\cal{F}} \cdot r_{VU}^{\cal{F}}$

$f \in \cal{F}(U)$ に対し $r_{VU}^{\cal{F}}(f) = f|_{V}$ と思えばわかりやすい。制限写像の名前はここから来ている。