超楕円曲線(2) - 第2kame日記

$a_1, a_2,\cdots,a_{2g+2}$ を相異なる2g+2個の 0でない複素数とし、
$\displaystyle C_0 := $ y^2 = (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_{2g+2}) $$
で定義される $\mathbb{C}^2$ 内の曲線を考えている。
アフィン曲線 $C_0$ 上の点の $x$ 座標を対応させる射影 $\pi_{0}$ によって
$\pi_0:\displaystyle C_0 \to \mathbb{C}$
なる2重被覆写像が定義できた。
このとき $C_0$ は連結だそうで、それゆえ $C_0$ はリーマン面となる。
$C_0$ が連結となる理由は、 $C_0$ の任意の2点 $P,P_0$ が結べて弧状連結であるから。 $\pi_0(P)$ と $\pi_0(P_0)$ を結ぶ $\mathbb{C}$ 内の路の $C_0$ へのリフトを考えれば明らからしい。

さらに $\mathbb{C}$ に無限遠点を付加して $\mathbb{P}^1$ を作ったのと同じようにして、
$\displaystyle C_{\infty} := $ v^2 = (1-a_1 u)(1-a_2 u)\cdots(1-a_{2g+2}u) $$
という $\mathbb{C}^2$ 内の曲線を考え、 $C_0$ と $C_{\infty}$ を、

$(u,v) = (\frac{1}{x},\frac{y}{x^{g+1}})$
という双正則写像で張り合わせると、コンパクトリーマン面 $C = C_0 \cup C_{\infty}$ ができる。
$C$ がコンパクトであることは、問題2.10(コンパクト⇔任意の点列が収束部分列を持つ)の結果を使えとのこと。

こうして得られたコンパクトリーマン面 $C$ を
$\displaystyle y^2 = (x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_{2g+2})$
で表される超楕円曲線と呼ぶそうだ。
g=1 の場合を考えると§4.2でやった $\wp$ 関数で表される 1次元複素トーラスなども超楕円曲線の一つの例ということになる。