リーマン面上の正則/有理型写像の性質いくつか

定理5.13(p123)

X,Yがリーマン面、f:X→Y が(定点写像でない)正則写像とすると、
f(a) = b となる a∈X, b∈Y に対して、
a のまわりの局所座標 $U, \varphi$ とbのまわりの局所座標 $V, \psi$ と1以上の自然数k で以下の(1)〜(3)を満たすものが存在する。
(1) $\varphi(a)=0, \psi(b)=0$
(2) $f(U) \in V$
(3) f は $\displaystyle w = f(z) = z^{k}$ という形に局所座標表示できる

証明メモ:

aおよびbの近傍は単位開円板内の0を含む領域と解析同型であったので、a,bのまわりの座標近傍を適当に変えることによって aの近傍で fを座標表示したとき f(0)=0 となるようにすることができる。
fは正則写像だから、z=0の近傍でテーラー展開できて
$f(z)=a_0+a_1 z + a_2 z^2 + \cdots$
と書けるが、f(0) = 0 だから $a_0=0$ 。 $a_n$ が0にならない一番小さいnをkとすると、
$f(z) = a_k z^k + a_{k+1} z^{k+1} + \cdots = z^k$a_k + a_{k+1} z + \cdots$ = z^k g(z)$
と書けて、gはz=0の近傍で正則でg(0)≠0 であり、z=0の近傍で $g(z)^{1/k}$ の分枝を一つとりそれをh(z)とすれば、
$f(z) = $ z h(z) $^k$
z=0の近傍で z h(z) は正則であるから、 $z_1 = z h(z)$ となる局所座標を取り直せば、a ∈ X の近傍で、f は
$w = f(z_1) = (z_1)^k$
と局所座標表示されることになる。