リーマン面上の微分形式

複素平面上での正則関数について成り立つ性質は、コーシーの積分定理が成立することによるものが多かった。リーマン面上でもこれは同様らしく、そうすると正則関数(あるいは有理型関数)のリーマン面上の曲線に沿った積分というものを考える必要がでてくる。
ところが、リーマン面では座標表示は局所的にしかできないので、大域的な曲線に沿った関数の積分はそのままでは定義できない。そこで、実微分可能多様体のときと同様に、微分形式を導入し、それの積分を考える。

リーマン面は複素1次元多様体であるから、1次の微分形式だけを考えればよいのだろう。

読んでいるテキスト「複素解析」(高橋礼司) ではリーマン面上の微分形式を、次のように見慣れない形で定義している。

リーマン面上の微分形式の定義

リーマン面X 上の有理型関数 f,g の組 $f,g$ を考える。
$a \in X$ に対し a のまわりの局所座標 $U, \varphi$ で $\varphi(a) = 0$ となるものをとり、この座標に関して a の近傍で f,g を局所座標表示したものを $F(z), G(z)$ とする。
さて、別の有理型関数の組 $f_1,g_1$ が与えられ、a の近傍で $F_1(z), G_1(z)$ と局所座標表示されるとする。
このとき、 $f,g$ と $f_1,g_1$ が同値であることを、

$\displaystyle F(z) G'(z) = F_1(z) G_1'(z) $0 \lt |z| \lt r $$

が成り立つことと定義する。
この同値関係による同値類を、リーマン面X 上の (1次)微分形式と呼ぶそうな。

$\omega$ が X 上の (1次)微分形式で、 $f,g$ が $\omega$ に属するとき、

$\displaystyle \omega = f dg$

と書くそうだ。

なんだかわかりにくいので具体例を考えてみる。
$f(z) = z, g(z) = z^2$ としてみよう。上の記号に従えば、z = 0 の近傍で、 $F(z) = z, G(z) = z^2$ と表される。
そして
$\displaystyle f dg = z d(z^2) = z 2z dz = 2 z^2 dz$
ということか。なるほどたとえば $f_1(z) = z, g_1(z) = z^2 + 1$ とすれば
$\displaystyle F(z) G'(z) = z \cdot (z^2)' = z \cdot 2z$
$\displaystyle F_1(z) G_1'(z) = z \cdot (z^2+1) = z \cdot 2z$
であるから
$\displaystyle F(z) G'(z) = F_1(z) G_1'(z)$
すなわち、 $(z, z^2)$ と $(z, z^2+1)$ は同値で、これらの属する同値類は $2z^2 dz$ を書かれるということか。