複素接ベクトル空間(2)

$(z,V)$ をリーマン面X上の点Pの属する座標近傍系とする。
$z$ を実部虚部にわけて
$\displaystyle z = x + \sqrt{-1}y$
と表す。このとき z はV上の $C^{\infty}$ 関数である。そして、V 上の点 Qに対して $\bar{z(Q)}$ を対応させる関数
$\displaystyle \bar{z}: V \ni Q \mapsto \bar{z}(Q) = \bar{z(Q)} \in \mathbb{C}$
は $\bar{z} = x - \sqrt{-1} y$ となり、これも V 上の $C^{\infty}$ 関数となる。

$x, y$ の代わりに $z, \bar{z}$ を使うと見通しがよくなる。

$\displaystyle $\frac{\partial}{\partial z}$_{P} := \frac{1}{2} $ \(\frac{\partial}{\partial x}$_{P} - \sqrt{-1} $\frac{\partial}{\partial y}$_{P}\)$
$\displaystyle $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$_{P} := \frac{1}{2} $ \(\frac{\partial}{\partial x}$_{P} + \sqrt{-1} $\frac{\partial}{\partial y}$_{P}\)$
と定義する。
$$\frac{\partial}{\partial z}$_{P}, $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$_{P}$ は $\tilde{T}_{X}(P)$ の基底をなす。

Pの近傍における $C^{\infty}$ 級関数としての $z, \bar{z}$ の P における外微分 $$dz$_{P}, $d\bar{z}$_{P}$ は $\tilde{T}^{*}_{X}(P)$ の基底となり、 $$\frac{\partial}{\partial z}$_{P}, $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}$_{P}$ の双対基底となる。

Cauchy-Riemannの方程式は、 $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$ と書ける。

f が正則写像なら $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$ 。
f の外微分は、
$df = \frac{\partial f}{\partial z} dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} d\bar{z}$
と書けるので、f が正則写像なら $df = \frac{\partial f}{\partial z} dz$ 。