正則関数列 - 第2kame日記

第5章「等角写像としての正則関数」に入る。
記号 $\displaystyle \cal{H}(D)$ で領域D上の正則関数全体の集合を表す。これは $\mathbb{C}$ 上の多元環(ベクトル空間でさらに乗法を持ち、乗法に関して結合法則、加法と乗法の間の分配法則が成り立つ)をなす。

定理5.1(p102)

$\displaystyle \cal{H}(D)$ の関数列 $(f_n)$ がDで広義一様収束すれば、
(1) $\mathrm{lim} f_n = f$ もDで正則で、
(2) $(f'_n)$ もDで $f'$ に広義一様収束する。

(1)の証明:
領域D内の任意の閉三角形Δの辺 $\partial\Delta$ はコンパクト。
仮定より $(f_n)$ はD内の任意のコンパクト集合上で一様収束するので、 $\partial\Delta$ 上でも一様収束する。
各 $f_n$ はDで正則であるからCauchyの積分定理により
$\displaystyle \int_{\partial\Delta}f_n(z)dz = 0$
$(f_n)$ は $\partial\Delta$ 上で一様収束するので極限と積分の交換が可能で、
$\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{\partial\Delta}f(z)dz &= &\int_{\partial\Delta}$\mathrm{lim}_{n\rightarrow\infty}f_n(z)$dz \\ &=& \mathrm{lim}_{n\rightarrow\infty} \int_{\partial\Delta}f_n(z)dz = 0 \end{eqnarray}$
よってMoreraの定理から f は Dで正則(証明終)。

(2)の証明:
こちらは微妙に理解不足のところがあってひっかかっている。
Cauchyの積分表示が成立する範囲の復習が必要だ。
領域Dに含まれる任意の閉円板 $D(a;\rho)=\{z\in\mathbb{C};|z-a|\le\rho\}$ に対し、 $0\lt r \lt \rho$ を満たす任意のrをとる。
仮定より各 $f_n$ はDで正則だから、 $|z-a|\lt r$ 内の任意の点zに対して
$\displaystyle f_n(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f_n(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$
が成り立つ(Cauchyの積分表示。ただしγは|z-a|=rの円周)。
これから $|z-a|\lt r$ のとき、
$\displaystyle f_n'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f_n(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta$
が成り立つ。いま $(f_n)$ がDで広義一様収束しているから、Dに含まれるコンパクト集合 $D(a;\rho)$ 上で $(f_n)$ は $f$ に一様収束する。ゆえに
$\displaystyle \mathrm{lim} f_n'(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{\mathrm{lim} f_n(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta = f'(z)$
これは $D(a;\rho)$ 上で成立するが、次にD全体で一様にこの収束が成立することを示さないといけない。

さて、Dに含まれる任意のコンパクト集合Eをとり、Eの各点aに対して $D(a;r_a)\subset D$ となる閉円板 $D(a;r_a)$ をとると、それらの内部 $D^{\circ}(a;r_a)$ をE全体に渡ってとったもの $\displaystyle \{D^{\circ}(a;r_a)| a\in E\}$ はEの開被覆となる。Eはコンパクトだからこのうちの有限個で覆うことができる。この有限被覆を $\displaystyle \{D^{\circ}(a;r_k)| k=1,\cdots,m}$ とする。
各 $\displaystyle D^{\circ}(a;r_k)$ に対して $\displaystyle D(a;\frac{r_k}{2}) \subset D^{\circ}(a;r_k)$ であるので、上の方で確認した結果より、各 $\displaystyle D(a;\frac{r_k}{2})$ 上では $f'_n$ は $f'$ に一様収束している。すなわち∀ε>0に対し zに依存しない $N_k$ があり、
$\displaystyle n\gt N_k \Rightarrow |f'_n - f'|\lt\varepsilon$
そこで $N = max_{k=1,\cdots,m}$ とすれば、∀z∈E に対し
$\displaystyle n\gt N \Rightarrow |f'_n - f'|\lt\varepsilon$
となりNはzに依存しない。したがって、 $(f'_n)$ はD上 $f'$ に広義一様収束することが示された(証明終)。