モンテルの定理 - 第2kame日記

第5章§1「正則関数列の収束」が何とか最後までたどりついた。新しい概念が多かったので整理しながらもう一度復習してみる。

D上の正則関数の集合を $\cal{H}(D)$ と書く。この§の目的は以下のモンテルの定理の証明であったようだ。(後の§で使われる)

モンテルの定理

$\cal{H}(D)$ の任意の部分集合 $\cal{F}$ に関して以下の2つは同値。

(a) $\cal{F}$ は距離d に関して完全有界。

(b) $\cal{F}$ はDで局所有界。(Dの任意のコンパクト集合上で一様有界)

距離空間Xが完全有界であるとは、任意のε＞0に対してX全体を有限個の半径εの球で覆えることと定義され、これは(距離空間では)任意の点列がCauchy列である部分列を持つことと同値(テキストの付録Iに証明がある)。
すると X が完全有界＋完備なら X の任意の点列が収束部分列を持つ(これを点列コンパクトという)ことになる。
$\cal{C}(D)$ は距離dに関して完備であることが示されているので、上のモンテルの定理の $\cal{F}$ が距離d に関して完全有界であるというここと、 $\cal{F}$ の任意の点列が収束部分列を持つことが同値となる。
任意の点列が広義一様収束部分列を持つような $\cal{C}(D)$ の部分集合を正規族という。 $\cal{C}(D)$ における広義一様収束は距離d に関する収束と同値だったので、モンテルの定理の(a)は

(a') $\cal{F}$ は正規族

という表現に置き換えることもできる。

モンテルの定理の証明

この定理を証明するためにいろいろな定義や定理、補題が準備されているがそれをさかのぼりながら証明の概略をまとめてみる。

まず(a)⇒(b)の証明について。
(a)を仮定して $\cal{F}$ が Dの任意のコンパクト集合上で一様に有界であることを示す。
KをDの任意のコンパクト部分集合とする。
(a)の距離dに関して完全有界であるということが、Dの任意のコンパクト集合上完全有界であることに同値であること(定理5.5)を利用すると、上でとったKに関して、 $\cal{F}$ はK上完全有界。
コンパクト集合K上完全有界の定義を復習すると、

∀ε＞0に対し有限個の $f_1,\cdots,f_m$ が存在して、 $\forall f \in \cal{F}$ に対して j(1〜mのどれか)があり、
$\displaystyle d_K(f,f_j) \lt \varepsilon$
とできる。

そこでεとしてとくに1(別に他の値でもかまわない)をとると、あるjがあって
$\displaystyle d_K(f,f_j) = sup_{z\in K}|f(z)-f_j(z)|\lt1$
$f_j$ はコンパクト集合K上で連続だからK上有界(zによらないMで押さえられる)。よって
$\displaystyle |f(z)| \le |f(z)-f_j(z)| + |f_j(z)| \le 1 + sup_{z\in K}|f_j(z)| \le 1+M$
zによらず1+Mで押さえられるから $\cal{F}$ はK上一様有界である。

次に(b)⇒(a)。
$\cal{C}(D)$ の部分集合 $\cal{F}$ に関しては、この前の定理で

「距離dに関して完全有界」⇔「各点で有界＋各点で同程度連続」

が証明されている。これを利用すると(b)が成立することから各点で有界なので、各点で同程度連続であることを証明すればよい。それを証明するのに Cauchyの積分表示を利用する。(いま $\cal{F}$ の元はDで正則である)
∀a∈Dに対し、十分小さなr＞0をとると中心a半径rの閉円板 $\bar{D}(a;r)$ がDに含まれるようにできる。 $\bar{D}(a;r)$ はコンパクトだから仮定(b)よりこの上で一様有界、すなわち任意の $f\in\cal{F}$ はfによらないMにより
$\displaystyle sup_{z\in \bar{D}(a;r)}|f(z)|\le M$
となる。
またfは $\bar{D}(a;r)$ で正則だから特に $|z-a|\lt \frac{r}{2}$ を満たすzに対し、Cauchyの積分表示
$\displaystyle f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$
が成り立つ( $\gamma: |z-a|=r$ とする)。
$\cal{F}$ がaで同程度連続であることを示すには、任意のε＞0に対し、fがaの十分近い近傍で $|f(z)-f(a)|\lt\varepsilon$ であることを示せばよい。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \|f(z)-f(a)\| &=& \|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta - \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta-a}d\zeta \| \\ &=& \|\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} $\frac{f(\zeta)}{\zeta-z} - \frac{f(\zeta)}{\zeta-a} $ d\zeta \| \\ &=& \frac{1}{2\pi} \| \int_{\gamma} f(\zeta) $\frac{1}{\zeta-z} - \frac{1}{\zeta-a} $ d\zeta \| \\ &=& \frac{1}{2\pi} \| \int_{\gamma} f(\zeta) $\frac{z-a}{(\zeta-z)(\zeta-a)} $ d\zeta \| \\ &=& \frac{|z-a|}{2\pi} \| \int_{\gamma} $\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)(\zeta-a)} $ d\zeta \| \\ &\le & \frac{|z-a|}{2\pi} sup_{\zeta \in\gamma} \| \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)(\zeta-a)} \|\cdot 2\pi r \\ &\lt & |z-a| \frac{1}{2\pi} M $\frac{1}{r}$$\frac{r}{2}$\cdot 2\pi r\\ &\lt & |z-a| \frac{Mr}{2} \end{eqnarray}$

よってOK。