正則関数列(2) - 第2kame日記

Hurwitzの定理

定理5.2(Hurwitz. p102)

連結開集合D上の正則関数列 $(f_n)_{n\le 1}$ が Dでf(恒等的には0でないとする)に広義一様収束し、各 $f_n$ は Dに零点をもたないとする。
このとき、fはDに零点を持たない。

偏角の原理の応用。
fがa∈D を零点として持ったとすると、fは恒等的に0でないと仮定しているから、a はDの孤立点となる。(by 2章定理2.6)
このとき内部にaのみを零点として含む十分小さな円周γをとると、偏角の原理よりfの零点の数は
$\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)}dz$
となるが、仮定よりD内のコンパクト集合γ上で $f_n$ は $f$ に一様収束するから、
$\displaystyle \int_{\gamma}\frac{f'(z)}{f(z)}dz = lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\gamma}\frac{f_n'(z)}{f_n(z)}dz = 0$
最後の等式は各 $f_n$ が Dに零点をもたないことによる。これはfがDで零点を持たないことを示すから矛盾(証明終)。

系

開集合D上の正則関数列 $(f_n)_{n\le 1}$ が定数でない関数fに広義一様収束するとる。このとき、各 $f_n$ が単葉なら $f$ も単葉。

単葉とは単射のことだそうである。正則関数の場合にはこの言葉を使うらしい。
fが単葉でないとすれば $z\neq z'$ のとき $f(z)=f(z')=a$ を満たす $z,z'\in D$ が存在する。
$g(z)=f(z)-a$ でD上の関数gを定義するとgは2つの零点z,z'を持つ。
しかし $g_n(z)=f_n(z)-a$ は $f_n$ が単葉だから零点を一つしかもたない。偏角の原理を適用すると 2=1 となってしまい矛盾(証明終)。

うーん偏角の原理ってとっても便利。