ローラン展開 - 第2kame日記

しばらく休止していた高橋礼司「複素解析」を再開。
第4章§5「孤立特異点とローラン展開」から。

円環領域 $\displaystyle D = \{z \in \mathbb{C} | \rho_2 \lt |z| \lt \rho_1 \}$ で正則な関数 f を z のベキ $z^n $n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$ で展開することを考える。D は複素平面上の原点を中心とする穴あきディスクの形。
$\rho_2 \lt r_2 \lt r_1 \lt \rho_1$ なる $r_1, r_2$ をとって、原点を中心とし半径 $r_1, r_2$ の閉曲線を $\gamma_1, \gamma_2$ とする。
$\displaystyle \begin{eqnarray} \\ \gamma_1(t) & = & r_1 e^{it} \\ \gamma_2(t) & = & r_2 e^{it} & $0 \le t \le 2\pi$ \\ \end{eqnarray}$
ここで第3章でやったコーシーの積分公式を使う。閉曲線 $\gamma_1, \gamma_2$ の間に挟まれる領域にある z、すなわち $r_2 \lt |z| \lt r_1$ を満たすzをとる。第3章の定理をサイクル $\gamma_1 \vee \gamma^{-}_2$ に適用すると以下が成り立つ。
$\displaystyle Ind(\gamma_1; z) f(z) + Ind(\gamma^{-}_2; z) f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta + \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma^{-}_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$
上のInd は回転数。あまり他の本で見ないが、このテキストではこれが使われている。
曲線 $\gamma_1$ はzをぐるっと一周分まわるから $Ind(\gamma_1; z) = 1$ 。いっぽう曲線 $\gamma^{-}_2$ はzの周りをまわらないので $Ind(\gamma^{-}_2; z) = 0$ 。したがってこれを上の式に代入することにより、
$\displaystyle \begin{eqnarray} f(z) & =& \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta + \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma^{-}_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \\ & = & \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta - \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \end{eqnarray}$
$r_2 \lt |z| \lt r_1$ だから、曲線 $\gamma_1$ 上の点 $\zeta$ に対しては $|z| \lt |\zeta|$ より $|\frac{z}{\zeta}| \lt 1$ 。よって
$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{\zeta^{n+1}} = \frac{1}{\zeta} \frac{1}{1-\frac{z}{\zeta}} = \frac{1}{\zeta - z}$
であり、この級数は $|z| \lt r_1$ で一様収束する。同様に曲線 $\gamma_2$ 上の点 $\zeta$ に対して $|z| \gt r_2$ だから $|\frac{\zeta}{z}| \lt 1$ より
$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\zeta^n}{z^{n+1}} = \frac{1}{z} \frac{1}{1-\frac{\zeta}{z}} = -\frac{1}{\zeta - z}$
これらを上の式に代入すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} f(z) & =& \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta - \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_2} \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta \\ &= & \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_1} f(\zeta)$ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{z^n}{\zeta^{n+1}} $ d\zeta + \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_2} f(\zeta) $ \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\zeta^n}{z^{n+1}} $ d\zeta \\ & = & \sum^{\infty}_{n=0} $ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_1} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta $ z^n + \sum^{\infty}_{n=0} $ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_2} \zeta^n f(\zeta) d\zeta$ \frac{1}{z^{n+1}} \\ & = & \sum^{\infty}_{n=0} $ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta $ z^n + \sum^{\infty}_{n=0} $ \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \zeta^n f(\zeta) d\zeta$ \frac{1}{z^{n+1}} \end{eqnarray}$
最後の等号は $\gamma, \gamma_1, \gamma_2$ がすべてD(fが正則な領域)に含まれていて、 $\frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}}$ および $\zeta^n f(\zeta)$ は D で正則であることによる。
$\displaystyle a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} d\zeta$
$\displaystyle b_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \zeta^n f(\zeta) d\zeta$
とおき、 $a_{-n-1} = b_{n}$ とおくと
$\displaystyle f(z) = \sum^{\infty}_{n=-\infty}a_n z^n$
と書ける。これを f の0を中心としたローラン展開という。
fは0で正則でないけれども上のように負のベキまで考えると級数展開できる。

まだよく理解していないのだが、f の 0 のまわりのローラン展開を
$\displaystyle f(z) = \sum^{\infty}_{n=0}a_n z^n + \sum^{\infty}_{n=0}b_n \frac{1}{z^{n+1}$
と書いたとき、 $\sum^{\infty}_{n=0}a_n z^n$ の部分は $|z| \lt \rho_1$ で正則、 $\sum^{\infty}_{n=0}b_n \frac{1}{z^{n+1}$ の部分は $|z| \gt \rho_2$ で収束して正則であることが大事なことらしい。