留数定理

f が $\displaystyle D = \{z \in \mathbb{C} ; 0 \lt \|z-a\| \lt \rho\}$ で正則であるとする。f を a のまわりでローラン展開したものが
$\displaystyle f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$
であったとするとき、 $(z-a)^{-1}$ の係数 $a_{-1}$ を、f の孤立特異点aにおける留数と呼び、 $\displaystyle Res(f;a)$ と書く。

$\gamma$ をD内の回路とする。このときfの $\gamma$ 上での積分は留数を使って
$\displaystyle \int_{\gamma} f(z)dz = 2\pi i \cdot Ind(\gamma;a) Res(f;a)$
となる。
これを証明するには、f(z)のローラン展開 $f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$ を $\gamma$ 上で積分してみて $2\pi i \cdot Ind(\gamma;a) Res(f;a)$ になることを示せばよい。
ローラン展開した級数はDで広義一様収束するから、D内のコンパクト集合 $\gamma$ 上で一様収束するから、項別積分可能なので、
$\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{\gamma} f(z)dz &=& \int_{\gamma} $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-a)^n$dz \\ &=& \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \int_{\gamma} (z-a)^n dz \end{eqnarray}$
となるが、n= -1以外のときは
$\displaystyle \int_{\gamma} (z-a)^n dz = 0$
なので、
$\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{\gamma} f(z)dz &=& c_{-1} \int_{\gamma} \frac{1}{z-a} dz \\ &=& c_{-1} $2\pi i \cdot Ind(\gamma; a)$ \\ &=& 2\pi i \cdot Ind(\gamma;a) Res(f;a) \end{eqnarray}$
となる。
ということは f の積分が回転数と留数が判れば計算できるということで、積分の計算にとても役に立つ。

fがDから有限個の点 $a_1,\cdots,a_m$ を除いた領域D'で正則とする。D'内の閉曲線γがその内部に $a_1,\cdots,a_m$ を含んでいると、
$\displaystyle \int_{\gamma} f(z)dz = 2\pi i \sum_{k=1}^m Res(f;a_k)$
となる。

証明はCauchyの積分定理と、各 $a_k$ のまわりのγの回転数が1であることから、比較的簡単にできる。これが普通の教科書に載っている留数定理。実積分の計算に応用するだけならこれで十分？
高橋「複素解析」ではγがもっと一般的な形での定理が示されている。γが交差したり、 $a_k$ の周りを何回も廻ったり逆向きに廻ったりしても成り立つ形で。