ルーシェの定理 - 第2kame日記

偏角の原理の応用としての演習問題としてルーシェの定理が載っている。

問10

f,g は閉円板 $|z-a|\le\rho$ を含むある開集合で正則。
$\gamma(t)=a+\rho e^{i t}, 0\le t \le 2\pi$ とする(γは中心a、半径ρの円周)。
円周γ上で $|f(z)|\gt|g(z)|$ ならば $|z-a|\le\rho$ における f+g の零点の数と f の零点の数は等しい。

これを利用すると、n次方程式はn個の解を持つことが簡単に証明できる。

証明
$\displaystyle F(z)=f(z)+g(z)$ とおく。
偏角の原理より、 $|z-a|\le\rho$ に含まれるFの零点の数は
$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma} \frac{F'(z)}{F(z)}dz$
fの零点の数は
$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)}dz$
だから
$\displaystyle \int_{\gamma} \frac{F'(z)}{F(z)}dz = \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)}dz$
を示せばよい。
$\displaystyle F(z)=f(z)+g(z)=f(z)$1+\frac{g(z)}{f(z)}$$
より
$\displaystyle log F(z) = log f(z) + log$1+\frac{g(z)}{f(z)}$$
であるので、
$\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{\gamma} \frac{F'(z)}{F(z)}dz &=& \int_{\gamma} d log F(z)\\ &=& \int_{\gamma} d log f(z) + \int_{\gamma} d log$1+\frac{g(z)}{f(z)}$ \\ &=& \int_{\gamma} \frac{f'(z)}{f(z)}dz + \int_{\gamma} d log$1+\frac{g(z)}{f(z)}$ \end{eqnarray}$
となる。そこで
$\displaystyle h(z) = 1+\frac{g(z)}{f(z)}$
とおいたとき、
$\displaystyle \int_{\gamma} d log h(z) = \int_{\gamma} \frac{h'(z)}{h(z)}dz = 0$
となることを示せばよい。

$\displaystyle w = h(z) = 1+\frac{g(z)}{f(z)}$
より
$\displaystyle w-1 = \frac{g(z)}{f(z)}$
であるから、z平面の円周γ上の点zに対して $|f(z)|\gt|g(z)|$ より
$\displaystyle |w-1| = \|\frac{g(z)}{f(z)}\| \lt 1$
となる。よって $\Gamma = h(\gamma)$ とすると、 $\Gamma$ 上の点は1から半径1未満に位置し、 $\Gamma$ は関数 $\varphi(w)=w$ の零点0を含まない。そこで $\varphi$ に関して偏角の原理を適用すると、
$\displaystyle 0 = \int_{\Gamma} \frac{\varphi'(w)}{\varphi(w)}dw=\int_{\Gamma} \frac{1}{w}dw = \int_{\gamma}\frac{h'(z)}{h(z)}$
となる(証明終)。