P^1の2重被覆写像としてのペー関数

代数曲線論

\wp(z)は \mathbb{C}上\Lambdaを周期とする2重周期関数であり、1次元複素トーラス E=\mathbb{C}/\Lambda上の有理型関数とみなせる。これを

\displaystyle \wp: E \ni [z] \mapsto [\wp(z):1] \in \mathbb{P}^1

というコンパクトリーマン面Eからコンパクトリーマン面\mathbb{P}^1への正則写像とみなすことができる。
\wpは[0]にのみ2位の極を持つので、

\displaystyle \wp^{-1}(\infty) = \{[0]\}

であって、 \wpは被覆次数2 の正則写像となる。