有理型微分形式の引き戻し

§3.4「微分形式の外微分」、§3.5「微分形式の引き戻し」を読了。
昨日から §3.6「正則写像の分岐と有理型微分形式」に入る。
次の問題3.11 の答が巻末の略解と合わず悩む。

問題3.11(p62)

$\displaystyle f(z)=\frac{z}{z^4 - 1}$
で与えられる $\mathbb{P}^1$ から自分自身への写像を $f$ とおく。
$\omega$ を $(z-1)^2 dz$ で与えられる $\mathbb{P}^1$ 上の有理型1形式とするとき、 $f^{*}\omega$ の零点、極とそれらの位数を計算せよ。

巻末略解には $\infty$ が10位の極と書いてあるのだが、~~2位の極ではないだろうか。~~
(2/16記)復習後再トライした結果、以下のようになった。まだよく理解できていない。

分岐指数 $m=$ $ord_P(f^{*}\omega)$

$P$ $Q=f(P)$ $e_P$ $ord_Q(\omega)$ $=m e_{P}+(e_{P}-1)$

0 0 1 0 0

$\infty$ 0 3 0 2 2位の零点

$z^4-z-1=0$ の解(4個) 1 1 2 2 2位の零点

$-1,1,-\sqrt{-1},\sqrt{-1}$ $\infty$ 1 -2 -2 2位の極

上以外の点 - 1 0 0

		分岐指数	$m=$	$ord_P(f^{*}\omega)$
$P$	$Q=f(P)$	$e_P$	$ord_Q(\omega)$	$=m e_{P}+(e_{P}-1)$
0	0	1	0	0
$\infty$	0	3	0	2	2位の零点
$z^4-z-1=0$ の解(4個)	1	1	2	2	2位の零点
$-1,1,-\sqrt{-1},\sqrt{-1}$	$\infty$	1	-2	-2	2位の極
上以外の点	-	1	0	0