複素トーラスとP^2内のある3次曲線

$\displaystyle \wp: E \ni [z] \mapsto [\wp(z):1] \in \mathbb{P}^1$
は $deg \wp = 2$ の正則写像で、
$\displaystyle [0],[\frac{\omega_1}{2}],[\frac{\omega_2}{2}],[\frac{\omega_1+\omega_2}{2}]$
の 4点を分岐点として持つ。

$\displaystyle \wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda-\{0\}}$\frac{1}{(z-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}$$
は $\mathbb{C}$ で広義一様収束するからこれを項別微分できて、
$\displaystyle \wp'(z) = -2 \sum_{\omega \in \Lambda} \frac{1}{(z-\omega)^3}$
となる。
$\wp(z)$ の $z=0$ の近傍におけるローラン展開を用いて、面倒な計算を行うことにより

$\displaystyle $\wp'(z)$^2 = $ \wp(z) $^3 - g_2 \wp(z) - g_3$

という微分方程式が成立することがわかる。ここで $g_2, g_3$ は以下のように定義される：

$\displaystyle g_2 := 60 \sum_{\omega \in \Lambda-\{0\}} \frac{1}{\omega^4}$
$\displaystyle g_3 := 140 \sum_{\omega \in \Lambda-\{0\}} \frac{1}{\omega^6}$

上の微分方程式を踏まえて、以下のような $E=\mathbb{C}/\Lambda$ から $\mathbb{P}^2$ への写像を考えるのが面白いらしい。

$\displaystyle \varphi: E \ni [z] \mapsto [\wp(z):\wp'(z):1] \in \mathbb{P}^2$

すると $\varphi$ による1次元複素トーラスの像 $\varphi(E)$ は、2次元複素射影空間 $\mathbb{P}^2$ 内の以下の3次曲線 $C$ への同型写像となる。

$\displaystyle C:= $ Y^2Z = 4 X^3 - g_2 XZ^2 - g_3 Z^3$$

これを示すには、 $\varphi: E \ni [z] \mapsto C$ が全単射であることと、 $d\varphi_P: T_P(E) \to T_{\varphi(P)}(\mathbb{P}^2)$ が $\forall P \in E$ に対して単射であることを証明すればよい。

$d\varphi_P$ が単射であることの証明

これを証明するのに $\mathbb{P}^2$ の局所座標として、同次座標だの非同次座標だの、目的に応じて使いやすいものを使って計算を行う。慣れないと混乱する。 $d\varphi_P$ が単射であることを証明するときは、 $[X:Y:Z]$ に対応して $X/Z,Y/Z$ という非同次座標を使う。これを使うと、非同次座標で