ワイエルシュトラスの関数

$\wp$ はペーと読む。その収束を証明するのに使う補題が以下であるが、証明がカッコイイと思ったのでメモっておく。
$\Lambda$ は $\mathbb{R}$ 上一次独立な複素数 $\omega_1,\omega_2$ が複素平面上に作る格子として、

$s$ は実数で、 $s \gt 1$ ならば
$\displaystyle \sum_{\omega \in \Lambda - \{0\}} \frac{1}{|\omega|^{2s}}$
は収束する。

$\displaystyle \varphi(x,y)=|x \omega_1 + y \omega_2|^2 (x,y\in \mathbb{R})$
とおく。
$\displaystyle \begin{eqnarray} \omega_1 &= &p + q \sqrt{-1} \\ \omega_2 &= &r + s \sqrt{-1} \\ &&(p,q,r,s \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}$
とすると、
$\displaystyle \omega_1 \bar{\omega_2} + \bar{\omega_1}\omega_2 = 2(pr+qs)$
となる。そこで、
$\displaystyle \begin{eqnarray} a&=&|\omega_1|^2 \\ b&=&pr+qs \\ c&=&|\omega_2|^2 \end{eqnarray}$
とおくと、 $a,b,c \in \mathbb{R}$ 。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \varphi(x,y) &= & |x \omega_1 + y \omega_2|^2 \\ &=& (x \omega_1 + y \omega_2)(x \bar{\omega_1} + y \bar{\omega_2}) \\ &=& (\omega_1 \bar{\omega_1})x^2 + (\omega_1 \bar{\omega_2} + \bar{\omega_1}\omega_2)xy + (\omega_2 \bar{\omega_2})y^2 \\ &=& |\omega_1|^2 x^2 + 2(pr+qs)xy + |\omega_2|^2 y^2 \\ &=& a x^2 + 2bxy + c y^2 \end{eqnarray}$

となり、 $\varphi$ は実行列
$\displaystyle A = $ \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} $$
によって
$\displaystyle \varphi(x,y) = (x,y) $ \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array}$ $ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} $$
と表される実数係数の2次形式となる。
この 2次形式は正定値なので、 $A$ の固有値は正の実数(それを $0 \lt m_1\le m_2$ とする)であり、 $A$ は直交行列 $O$ により対角化できる:
$\displaystyle A = {}^{t}O $ \begin{array}{cc} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{array}$ O$

$\displaystyle $ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} $ = O$ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} $$
とする。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \varphi(x,y) &= & (x,y)A$ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} $ \\ &= &(x,y) {}^t O $ \begin{array}{cc} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{array}$ O $ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} $ \\ &= &{}^t$O\( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} $\) $ \begin{array}{cc} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{array}$ O $ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} $ \\ &= &(x',y') $ \begin{array}{cc} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{array}$ $ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} $ \\ &= &m_1 x'^{2} + m_2 y'^{2} \end{eqnarray}$

となる。 $0 \lt m_1 \le m_2$ であったから、
$\displaystyle m_1({x'}^{2} + {y'}^{2}) \le m_{1} {x'}^{2} + m_{2} {y'}^{2} \le m_{2}({x'}^{2} + {y'}^{2})$

$O$ は直交行列だから ${x'}^{2} + {y'}^{2} = x^{2} + y^{2}$ なので、

$\displaystyle m_1(x^{2} + y^{2}) \le \varphi(x,y) \le m_2(x^{2} + y^{2})$
となる。

以上で準備完了。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \sum_{\omega \in \Lambda-\{0\}} \frac{1}{|\omega|^{2s}} &=& \sum_{(l,k) \in \mathbb{Z}-\{(0,0)\}} \frac{1}{|l \omega_1 + k \omega_2|^{2s}} \\ &=& \sum_{(l,k) \in \mathbb{Z}-\{(0,0)\}} \frac{1}{|\varphi(l,k)|^s} \end{eqnarray}$

ここまで来ればわかると思うので以下省略。