1次元複素トーラス - 第2kame日記

4章「いろいろなリーマン面」に入った。この章では具体的な大事なリーマン面がいろいろ出てくるらしい。

§4.1「複素多様体」では一般次元の複素多様体の定義を行い、その閉部分多様体が定義された。コンパクトリーマン面 $X$ から複素多様体 $M$ への正則写像 $\varphi$ で単射であって、さらに $X$ の各点 $P$ において $(d\varphi)_P$ が単射なら $\varphi:X \to M$ は埋め込みであることを確認した。
このとき $\varphi(X)$ は $Y$ の閉部分多様体で、リーマン面の構造を持つ。これが§4.1 の内容であった。

また問題4.4(p70)により、特異点を持つ $\mathbb{C}^2$ 内の複素曲線は閉部分多様体になれないらしいことを知った。

続いて§4.2「1次元複素トーラス」に入る。二つの一次独立な複素数 $\omega_1,\omega_2$ で張られる階数2の格子
$\displaystyle \Lambda := \{n_1\omega_1 + n_2 \omega_2 | n_1,n_2 \in \mathbb{Z}\}$
を定義。さらに
$\displaystyle E := \mathbb{C}/\Lambda$
という $\mathbb{C}$ の加法群としての部分群を定義した。これにリーマン面の構造を入れることができるらしく、これを「 $\Lambda$ を周期とする1次元複素トーラス」と呼ぶそうだ。これからそれを確認する。