1次元複素トーラス上の関数

少し間が空いてしまった。まとまった自由な時間が欲しい今日この頃。

さて、1次元複素トーラス 上の有理型関数を考える。
上の有理型関数は、の周期の2重周期関数となる。
上の有理型関数を という正則写像とみなすと、 はコンパクトリーマン面からへの正則写像となる。これから大域的にの写像度が定まる。これを利用すると、

上一点にのみ 1位の極を持ち、他では正則である有理型関数は存在しない。

が証明できる。
このテキストでは以下のように証明している。
(1点) であり、仮定より であることから 。よって 。
しかるに、上には 0 でない大域的有理型1形式が存在し、上の大域的有理型1形式は 0 のみなので矛盾。
留数定理を使って証明するケースが多いようだが、本質的には同じこと使っているのかな。