積分のお勉強(4)

微積分

積分順序の変更

2変数関数 f(x,y) を [a,b]×[c,∞) 上の関数とするとき、
\Large \int_a^b \({\int_c^{\infty} f(x,y)dy}\)dx = \int_c^{\infty}\( \int_a^b f(x,y)dx \)dy
が成り立つための条件を考える。上式は
\Large \int_a^b \( \lim_{u \rightarrow \infty} {\int_c^u f(x,y)dy}\)dx = \lim_{u \rightarrow \infty} \int_c^u \( \int_a^b f(x,y)dx \)dy
という意味なので、 F_{u}(x) = \int_c^u f(x,y)dy とおくと、f が有限な範囲 [a,b]×[c,u] では積分順序の交換できるような関数とし、
\int_a^b \(\lim_{u \rightarrow \infty} {\int_c^u f(x,y)dy}\) dx
= \int_a^b \lim_{u \rightarrow \infty} F_u(x) dx
= \lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^b F_u(x) dx
= \lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^b \({\int_c^u f(x,y)dy}\) dx
= \lim_{u \rightarrow \infty} \int_c^u \( \int_a^b f(x,y)dx \) dy
という式変形ができれば成立する。すなわち
\Large \int_a^b \lim_{u \rightarrow \infty} {F_u(x)} dx = \lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^b F_{u}(x)
が成立すれば、広義積分の順序変更ができることになる。
これは、パラメータが n から連続なパラメータ u に変わったことを除けば前項と同じ形。これが成り立つための十分条件のうちの一つは、任意の u に対して F_u(x) が連続で、u→∞のとき F_u(x) が[a,b]上の連続関数 F(x) に x に関して一様収束することである。一様収束すれば、離散パラメータ n の場合と同様にして、任意のε＞0 に対し、x によらないM＞0 があり、u＞M ならば \|{F(x) - F_u(x)}\| \lt \varepsilon が成り立つ。このとき
\| { \int_a^b{F(x)}dx - \int_a^b{F_u(x)}dx }\| = \| { \int_a^b{(F(x)-F_u(x))dx} }\| \leq \int_a^b{\|{F(x)-F_u(x)}\|dx \lt \varepsilon(b - a)}
であるので、
\Large \int_a^b \lim_{u \rightarrow \infty} {F_u(x)} dx = \lim_{u \rightarrow \infty} \int_a^b F_{u}(x)
が成立する。
ここまでをまとめると

  1. f(x,y) を x の関数とみたとき [a,b]で可積分
  2. f(x,y) を y の関数とみたとき [c,∞)で広義可積分
  3. \int_a^b \({\int_c^u f(x,y)dy}\) dx = \int_c^u \( \int_a^b f(x,y)dx \) dy
  4. F_{u}(x) = \int_c^u f(x,y)dy が[a,b]で連続
  5. u→∞のとき F_u(x) が[a,b]上の連続関数 F(x) に x に関して一様収束する

という５つがこの場合の積分順序交換のための十分条件となっていることがわかった。3. が成立するための簡単な十分条件は、f(x,y) が [a,b]×[c,u]上で連続であること。
このとき f(x,y) を x の関数とみたとき [a,b]で可積分であり、y の関数とみたとき [c,u]で可積分。そこで2.の条件を仮定すれば 1.〜5. が成り立つことになるかな。

微分と積分の順序変更

これは特に難しいことはないので飛ばすことにする。

まとめ

結局、関数列の積分と極限を交換できるたには、関数列が一様収束すること示すのがポイントらしい。優関数が簡単に見つかればよいけれども、そうでないときは大変なこともあるらしい。
そういうときは、一つの方法としてDiniの定理というのが役立つことがあるようだ。
また、もっと緩い十分条件として (f_n)が一様有界であればよいという、アルツェラの定理というのもあるそうだ。
後は個別の問題に突き当たったときに調べるとして、このあたりで積分のお勉強一段落とする。