積分のお勉強 - 第2kame日記

関数fが閉区間上で連続かもしくは区分的に連続な場合以外の積分の理解がかなり怪しいので、一度きちんと整理して証明もフォローして勉強しなおしておこうと思う。

広義積分が収束するための条件

実関数 f が区間 [a, b) で可積分で、b において有界でないとき、広義積分
$\Large \int_a^b f(x) dx$
が収束するための必要十分条件は、
任意のε＞0 に対してある c ∈ (a, b) があり、c ＜ p ＜ q ＜ b なる任意の p, q に対して
$\Large \| \int_{p}^{q} f(x) dx \| \lt \varepsilon$
が成り立つことである。

$\Large F(u) = \int_a^u f(x) dx$
とおくと、F は [a, b) の関数で、広義積分の定義から、
$\Large \int_a^b f(x) dx = lim_{u \rightarrow b-0} F(u)$
と表せる。したがってこの広義積分が収束することは、
$\Large F = lim_{u \rightarrow b-0} F(u)$
が存在することである。一方
$\Large \int_{p}^{q} f(x) dx = \int_{a}^{q} f(x)dx - \int_{a}^{p}f(x)dx = F(q) - F(p)$
であるから、示すべき内容は、

$\Large F = lim_{u \rightarrow b-0} F(u)$
が存在するための必要十分条件は、
任意のε＞0 に対してある c ∈ (a, b) があり、c ＜ p ＜ q ＜ b なる任意のp, q に対して
$\Large \| F(q) - F(p) \| \lt \varepsilon$
が成り立つことである。

と翻訳される。
まず必要性については、∀ε＞0 に対しあるδ＞0 があり、b-δ＜u ＜b なら |F(u) - F|＜ε であるから、c = b - δ とおけば、c ＜ p ＜ q ＜ b なる任意のp, q に対して |F(p) - F|＜ε、|F(q) - F|＜ε が成立する。ゆえに、
$\Large \| F(q) - F(p) \| \lt \| F(q) - F \| + \| F - F(p) \| \lt 2 \varepsilon$
だからOK。
逆に十分性については、b に収束する点列 $\Large \{b_n\}_{n\geq1}$ をとると、ある番号から先の n, m についてすべて $\Large c \lt b_n,b_m \lt b$ となるから、 $\Large \| F(b_n) - F(b_m) \| \lt \varepsilon$ が成り立つ。ゆえに点列 $\Large \{F(b_n)\}_{n\geq1}$ は Cauchy列なので、収束する。その収束先の値を F とすればよいかな。
どうやらよさそうだが、きまじめに示そうとするとかなり長くなることがわかったので以下省略。

絶対収束する広義積分

実関数 f が区間 [a, b) で可積分で、b において有界でないとき、広義積分
$\Large \int_a^b \|f(x)\| dx$
が収束すれば、
$\Large \int_a^b f(x) dx$
も収束する。

上の命題を利用すると、任意のε＞0 に対してある c ∈ (a, b) があり、c ＜ p ＜ q ＜ b なる任意の p, q に対して
$\Large \|{ \int_{p}^{q} |f(x)| dx }\| \lt \varepsilon$
が成り立つので、
$\Large \| \int_{p}^{q} f(x) dx \| \lt \|{ \int_{p}^{q} |f(x)| dx }\| \lt \varepsilon$
証明終わり。