ベクトル場(1) - 第2kame日記

第4章 §16「ベクトル場」に入る。
多様体のベクトル場の定義と基本的な公式（線型性、座標変換など）の確認まで。 $\mathbb{C}^{r}$ 級関数を微分すると $\mathbb{C}^{r-1}$ 級になり扱いにくくなるので、これ以降は $\mathbb{C}^{\infty}$ 級関数のみ扱うという。
ここまでで重要そうと思ったのは補題16.4(p229)。すなわち、任意の座標近傍 $U; x_{1},\cdots,x_{m}$ の上で $\mathbb{C}^{\infty}$ 級関数 $\xi_{1}, \cdots, \xi_{m}$ によって
$$\displaystyle \sum_{i=1}^{m} \xi_{i} \frac{\partial}{\partial{x_{i}}$ と局所座標表示されるような微分作用素Dがあると、Uに局所的に制限したときに D に一致するようなベクトル場 X が一意的に存在するということ。この証明で 1の分割の存在意味がわかった。