正則点と臨界点(2) - 第2kame日記

$(df)_p$ が onto であるということは、ヤコビ行列 $(Jf)_p$ の rank が n = dim N に等しいということなので、ある点 p∈M が正則点であるか臨界点であるかを調べるには、具体的に $(Jf)_p$ の rank を求めればよい。臨界点とは高校の微分でも出てくる極値に相当するものらしい。

N の点で、fによる正則点の像となっているものを正則値といい、臨界点の像となっているものを臨界値という。

いくつか具体例の計算をした後、正則値 q の逆像 $f^{-1}(q)$ がM の (m-n)次元部分多様体であることが証明される。この定理を利用して、いくつかの具体的な多様体の次元が計算できる。

テキストでは、Stiefel多様体 $V_{m,k}$ というものが定義され、これが $mk - \frac{k(k+1)}{2}$ 次元のコンパクト $\mathbb{C}^{\infty}$ 級多様体であることが証明される。
これを応用して、m次直交群 $O(m)$ が $\frac{m(m-1)}{2}$ 次元のコンパクト $\mathbb{C}^{\infty}$ 級多様体であることが証明される。