積分順序の変更 2変数関数 f(x,y) を [a,b]×[c,∞) 上の関数とするとき、 が成り立つための条件を考える。上式は という意味なので、 とおくと、f が有限な範囲 [a,b]×[c,u] では積分順序の交換できるような関数とし、 という式変形ができれば成立する。すな…

項別積分(極限と積分の交換) が有界閉区間 [a,b]上で連続で、[a,b]上で が f に一様収束するとき、 n → ∞のとき、 が f に一様収束することから、右辺→0。 ちなみに f は連続関数列の一様収束極限だから[a,b]で連続ゆえ[a,b]で可積分。上では積分範囲を有界…

「実関数 f が区間 [a, b) で可積分で」なんて書いてしまったが、どんな関数が可積分なのかの注意がずさんであった。 微積分の教科書によると、まず積分範囲は有界閉区間I上の場合を考えて、fのリーマン和を考え、その分割を小さくしていった極限をfの積分と…

関数fが閉区間上で連続かもしくは区分的に連続な場合以外の積分の理解がかなり怪しいので、一度きちんと整理して証明もフォローして勉強しなおしておこうと思う。 広義積分が収束するための条件 実関数 f が区間 [a, b) で可積分で、b において有界でないと…