積分のお勉強(2)

微積分

「実関数 f が区間 [a, b) で可積分で」なんて書いてしまったが、どんな関数が可積分なのかの注意がずさんであった。
微積分の教科書によると、まず積分範囲は有界閉区間I上の場合を考えて、fのリーマン和を考え、その分割を小さくしていった極限をfの積分と定義している。その後可積分な関数fの条件をいろいろ調べていって、f がIで有界で

  • f が Iで単調のときは可積分
  • f が Iで連続のときは可積分
  • f,gが可積分なら積fgも可積分(定義から積分の線型性はすぐわかるので和、差は可積分)
  • fがI上で0にならなければ 1/f も可積分

であることがわかる。なので当面普通に現れる関数については安心してよさそう。

優関数

f,g:[a,b\) \mapsto \mathbb{R} が連続で、 \|f\| \leq gとする。このとき、
\Large \int_{a}^{b} g(x)dx
が収束すれば、
\Large \int_{a}^{b} f(x)dx
は絶対収束する。

任意のε＞0 に対してある c ∈ (a, b) があり、c ＜ p ＜ q ＜ b なる任意の p, q に対して
\Large \int_{p}^{q} |f(x)|dx \leq \int_{p}^{q} g(x) dx \lt \varepsilon
であることによる。