Abelの定理

リーマン面

Rをコンパクトリーマン面とする。

定理

R上の任意の2点P,Qに対して、 R上P,Qを除いて正則で、P,Qにおいて1位の極を持つ第3種Abel微分が存在する。

PとQがRの一つの局所座標円板内にある場合

まずP, Qが R上の一つの局所座標円盤 U_0 = \{p \in R \| |z(p)| \lt 1\}内にある場合の上の定理の証明を考える。
局所パラメータ z の関数S(z)を以下で定義する。

S(z) = \Phi + i \Psi = i \log{\(\frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} / \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z}\) }
ただし \alpha = z(P), \beta = z(Q)とする。

命題1

U_0内で \alpha, \betaを結ぶ線分を \sigmaとすると、 S(z)は U_0 - |\sigma|において1価正則である。

証明：
w = h(z) = \frac{z - \beta}{1 - \bar{\beta} z} / \frac{z - \alpha}{1 - \bar{\alpha} z}
とおくと、
h(\beta) = \frac{\beta - \beta}{1 - \bar{\beta} \beta} / \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha} \beta} = \frac{0}{1 - |\beta|^2} / \frac{\beta - \alpha}{1 - \bar{\alpha} \beta} = 0
なぜならば
|\beta|^2 \lt 1, \alpha \neq \beta, |\bar{\alpha} \beta|^2 = \bar{\alpha} \beta \bar{\bar{\alpha} \beta} = \(\bar{\alpha}\alpha\)\(\beta\bar{\beta} \) = |\alpha|^2|\beta|^2 \lt 1
だから。

さらに
h(\alpha) = \frac{\alpha - \beta}{1 - \bar{\beta} \alpha} / \frac{\alpha - \alpha}{1 - \bar{\alpha} \alpha} = \frac{\alpha - \beta}{1 - \bar{\beta} \alpha} / \frac{0}{1 - |\alpha|^2} = \infty

従ってz平面における\beta, \alphaは写像hによってw平面の0と無限遠点に写る。hによってz平面上の線分\sigmaはw平面上、原点から無限遠点に至る直線に至る。w平面からこの直線を除いた領域で \logは１価正則。従ってやはりU_0から|\sigma|を除いた集合上で１価正則であるhとの合成関数であるS(z)はU_0 - |\sigma|上の１価正則関数である。(証明終)


つづく。