リーマンの写像定理(2)

問3(p116)

単位円板 B の自己同型 $\varphi$ で、Bの1点 a にたいして、条件 $\varphi(a)=0$ および $\varphi'(a)\gt 0$ を満たすものが唯１つ存在することを証明せよ。

まずこの問題を解いてみる。
$\displaystyle \varphi(z) = \frac{z-a}{-\bar{a}z+1}$
は Bの点aを0に写す自己同型であり、
$\displaystyle \varphi'(z) = \frac{-\bar{a}z+1 + \bar{a}(z-a)}{(-\bar{a}z+1)^2}$
より
$\displaystyle \varphi'(a) = \frac{1-|a|^2}{(1-|a|^2)^2} = \frac{1}{1-|a|^2} \gt 0$
であるから、少なくとも一つは条件を満たすBの自己同型は存在する。

さて $\psi$ も $\psi(a)=0$ および $\psi'(a)\gt 0$ を満たすBの自己同型だとする。 $\varphi = \psi$ を示したい。
$S = \varphi \circ \psi^{-1}$ とおく。S も B の自己同型であり、 $S(0) = (\varphi \circ \psi^{-1})(0) = \varphi(a) = 0$ となるから、S は原点を固定するBの自己同型。したがって原点のまわりの回転であって*1
$\displaystyle S(z) = e^{i\theta} z$
と書ける。これから
$\displaystyle S'(z) = e^{i\theta}$
いっぽう合成関数の微分法より、
$\displaystyle S'(0) = (\varphi \circ \psi^{-1})'(0) = \varphi'(a) (\psi^{-1})'(0) = \frac{\varphi'(a)}{\psi'(a)}$
仮定より右辺の分母分子はともに正の実数だから、 $S'(0)$ も正の実数。ところが $S'(z) = e^{i\theta}$ だったから $S'(z) = 1$ でなければならず、B において S(z) = z でなければならない。
よって
$\displaystyle \varphi = \psi$
が成立する。

*1:シュワルツの補題による