コンパクトリーマン面の種数の有限性(4)

先日のつづき。
利用する補題を整理してしておく。

補題1

$\forall \epsilon \gt 0$ に対して、 $Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)$ は次の(1)(2)の性質を持つ閉部分空間 $L$ を持つ：

(1) $\forall \beta \in L$ に対して $\parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_2)} \le \epsilon \parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_1)}$ を満たす。
(2) $\displaystyle dim$Z^1_{L_2}(\cal{U}_1)/L$ \lt \infty$

このとき
$\displaystyle Z^1_{L_2}(\cal{U}_1) = L \oplus L^{\perp}$
と直交分解される。

補題2

次の条件を満たす $C \gt 0$ が存在する：
$\forall \beta \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_2)$ に対し、
$\exist \alpha \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_1),$
$\exist \gamma \in C^0_{L_2}(\cal{U}_3) :$
$(1) \alpha = \beta + \partial^0(\gamma)$ (in $\cal{U}_3$ )
$(2) \parallel \alpha \parallel_{L_{2}(\cal{U}_1)} \le C \parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_2)}, \parallel \gamma \parallel_{L_{2}(\cal{U}_3)} \le C \parallel \beta \parallel_{L_{2}(\cal{U}_2)}$

上の補題2により存在が保証された $C \gt 0$ をとり、 $\epsilon := \frac{1}{2C}$ とおく。この $\epsilon$ に対して補題1を適用して決まる $L$ を使って $S:= L^{\perp}$ とおく。
この $S$ は $Z^{1}(\cal{U}_1,\cal{O}_X)$ の有限次元閉部分空間である(これも示すのに準備が必要だがまずは事実として認める)。

そこで準備がひとまず整ったので、以下の命題を証明する：

$\forall b \in Z^1(\cal{U}_1, \cal{O}_X)$ に対して、ある $a \in S, c \in C^0(\cal{U}_3, \cal{O}_X)$ があり
$\displaystyle a = b + \partial^{0}(c)$
が成立する。
(等式は $Z^1(\cal{U}_3, \cal{O}_X)$ 内の式)

上の命題の証明

$b \in Z^1(\cal{U}_1,\cal{O}_X)$ は自然に $Z^1_{L_2}(\cal{U}_2)$ の元とみることができた。
そこで $b \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_2)$ に対し補題2 を適用すると、
$d_0 \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_1), c_0 \in C^0_{L_2}(\cal{U}_3)$
があって、
$\displaystyle d_0 = b + \partial^{0} (c_0)$
と書ける。
さて補題1から、 $d_0 \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_1) = L \oplus S$ だったから、 $d_0$ を
$\displaystyle d_0 = b_0 + a_0 (b_0 \in L, a_0 \in S)$
と直交分解できる。
これにより $b_0 \in L$ というものが新たに作られたが、これも自然に $Z^1_{L_2}(\cal{U}_2)$ の元とみることができるので、上の方法を繰り返すことにより、

$\displaystyle \exist d_1 \in Z^1_{L_2}(\cal{U}_1), \exist c_0 \in C^0_{L_2}(\cal{U}_3) s.t.$
$\displaystyle d_1 = b_0 + \partial^{0} (c_1)$
$\displaystyle d_1 = b_1 + a_1 (b_1 \in L, a_1 \in S)$
：

と書ける。これを繰り返してまとめると、

$\displaystyle \begin{eqnarray} b_0 + a_0 &= & b &+ \partial^{0} (c_0) \\b_1 + a_1 &= & b_0 &+ \partial^{0} (c_1) \\b_2 + a_2 &= & b_1 &+ \partial^{0} (c_2) \\ : & & &: \\b_N + a_N &= & b_{N-1} &+ \partial^{0} (c_N)\end{eqnarray}$

となる。これを0からNまで足すことにより

$\displaystyle b_N + \sum_{n=0}^{N}a_n = b + \partial^0$\sum_{n=0}^{N}c_n$$
となる。
ここで $N \longrightarrow \infty$ とすることにより所望の結果が得られる。
すなわち補題2(2)の条件により $b_N \rightarrow 0$ となり、 $a_n, c_n$ のΣについてはヒルベルト空間の完備性と補題2(2)の条件によりそれぞれある $a \in S, c \in C^0(\cal{U}_3, \cal{O}_X)$ に収束するから、
$\displaystyle a = b + \partial^0(c)$
となる。
めんどうなので収束の確認のところの詳細ははしょった。

これで、あとは補題1,2 を証明できればコンパクトリーマンの種数の有限性が示せることになった。