リーマン球の自己同型群

つぎにリーマン球 $S^2$ の自己同型群を計算してみる。

$ad-bc\neq 0$ のとき
$\Phi:z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

という対応は $S^2$ から $S^2$ への写像となる。これを1次分数変換(または略して1次変換)という。 $S^2$ 上の1次分数変換全体の集合をGとする。
実は
$\displaystyle Aut(S^2) = G$
が成り立つという。これは、G が $S^2$ に推移的に作用することと、 $S^2$ の元∞を固定する自己同型が $Aut(\mathbb{C})$ に同型なので Gに含まれることから証明される。

ところで2次の正則行列の群 $GL_2(\mathbb{C})$ から $S^2$ 上の一次変換全体 $G = Aut(S^2)$ への写像
$\displaystyle \varphi \begin{eqnarray} $ \begin{array}{cc}a &b\\c&d\end{array}$ \end{eqnarray} = \frac{az+b}{cz+d}$
は、 $GL_2(\mathbb{C})$ から $Aut(S^2)$ への準同型となる。その核 $Ker \varphi$ を計算すると、 $\frac{az+b}{cz+d}=z$ が任意のzについて成立しなければならないことから b=c=0, a=d でなければならず、
$\displaystyle Ker \varphi = \{ a $\begin{array}{cc}1 &0\\0&1\end{array}$ \|a\neq 0 \}$