前層の間の準同型 - 第2kame日記

$\cal{F}(U)$ が $\mathbb{C}$ 線形空間だとし、制限写像を線形写像と考えていたが、各 $\cal{F}(U)$ が線形空間以外の代数構造を持つ場合を考えることもある。その代数構造が $\mathbb{C}$ 代数なら $\cal{F}$ を $\mathbb{C}$ 代数の前層といい、制限写像を $\mathbb{C}$ 代数の準同型写像であるものと考える。今読んでいるテキストでは $\mathbb{C}$ 線形空間の前層を単に前層と呼ぶが、線形空間の間の線形写像を準同型写像とも呼ぶことにすると約束する。

$\cal{F}, \cal{G}$ を $X$ 上の前層とする。各 $U \in \cal{U}$ に対して
$\displaystyle \varphi(U): \cal{F}(U) \to \cal{G}(U)$
という準同型写像が定まって、任意の $V \subset U$ である $U,V \in \cal{U}$ に対して以下の図式が可換になるとする：

$\displaystyle \begin{eqnarray} \cal{F}(U) & \longrightarrow^{\varphi(U)} & \cal{G}(U) \\ \longdownarrow^{r_{VU}^{\cal{F}}} & & \longdownarrow^{r_{VU}^{\cal{G}}} \\ \cal{F}(V) & \longrightarrow^{\varphi(V)} & \cal{G}(V) \end{eqnarray}$

このとき、準同型写像の集まり $\{\varphi(U)\}_{U \in \cal{U}}$ のことを前層 $\cal{F}$ から $\cal{G}$ への準同型といって、

$\displaystyle \varphi: \cal{F} \to \cal{G}$

と表す。

いくつか記号の約束をする。
前層 $\cal{F}$ が与えられたとき、 $a \in \cal{F}(U)$ は $P$ でのストーク $\cal{F}_P$ の元 $[a]$ を定めるが、これをしばしば $a_P$ と表す。
また前層間の準同型 $\varphi: \cal{F} \to \cal{G}$ が与えられたとき、 $a \in \cal{F}(U)$ の $\varphi(U)$ による像 $\varphi(U)(a) \in \cal{G}(U)$ を、しばしば $\varphi(a)$ と略記する。

慣れるために演習問題を解く。

問題5.1(p103)

$\displaystyle \varphi(U): \cal{F} \to \cal{G}$
を前層の準同型とする。
$\displaystyle s \in \cal{F}(U), t \in \cal{G}(V) $U,V \in \cal{U}_P$$
に対して以下の(1)(2)は同値であることを示せ。
(1) $\varphi_P(s_P) = t_P$
(2) $\displaystyle \exists W \in U \cap V $W \in \cal{U}_P$ s.t. \varphi(s|_{W}) = t|_{W}$

上の書いた記号の約束に基づき、まず(1)の式の意味の解釈を試みる。
仮定より $s \in \cal{F}(U), t \in \cal{G}(V)$ であるから、まず左辺は

$\displaystyle \varphi_P(s_P) = [\varphi(U)(s)]$

となり右辺は、

$\displaystyle t_P = [t]$

いう意味になる。従って(1) は

$\displaystyle [\varphi(U)(s)] = [t]$

という前層 $\cal{G}$ の $P$ でのストーク $\cal{G}_P$ における等式であることがわかる。これは

$\displaystyle \cal{G}(U) \ni \varphi(U)(s) \sim t \in \cal{G}(V)$

を意味するので、同値の定義から $W \subset U \cap V$ である $W \in \cal{U}_P$ が存在して、

$\displaystyle r_{WU}^{\cal{G}}(\varphi(U)(s)) = r_{WV}^{\cal{G}}(t)$ ・・・(式a)

となる。これが (1)の意味である。

さて、 $\varphi : \cal{F} \to \cal{G}$ は前層間の準同型であるから定義により制限写像と $\varphi$ が可換で、

$\displaystyle r_{WU}^{\cal{G}} \circ \varphi(U) = \varphi(W) \circ r_{WU}^{\cal{F}}$

である。従って(式a)の左辺は省略記法を用いて、

$\displaystyle r_{WU}^{\cal{G}}(\varphi(U)(s)) = r_{WU}^{\cal{G}} \circ \varphi(U)(s) = \varphi(W) \circ r_{WU}^{\cal{F}}(s) = \varphi(W)$s|_{W}$ = \varphi$s|_{W}$$

となり、右辺は

$\displaystyle r_{WV}^{\cal{G}}(t) = t|_{W}$

となる。よって (1)はある $W \subset U \cap V$ に対して

$\displaystyle \varphi$s|_{W}$ = t|_{W}$

ということだから (2)と同値。(証明終)