単位円板D(0;1)の自己同型群

次は単位円板D(0;1)。
この自己同型群を求めるのは少し道中が長い。
まずは演習問題(p115問1)の形で補題が与えられているので、これを解く。
問1は一つにまとまっているが内容的には3つに分かれるので(1)〜(3)としておく。

問1(1)

1次分数変換
$\displaystyle w = \frac{z-i}{z+i}$
は実数軸 $Im(z)=0$ を単位円周 $|w|=1$ に写す。

$\Phi(z)=\frac{z-i}{z+i}$
$A = \{z\in\mathbb{C}\cup\{\infty\} | Im(z)=0\}$
$B = \{w\in\mathbb{C} | |w|=1\}$
と書くことにする。(実数軸と言ったとき無限遠点も含むものなのかよくわからないが)
この記号を使ったとき $\Phi(A) = B$ を示せという問題。なので $\Phi(A) \subset B$ と $\Phi(A) \supset B$ を示せばよい。
$w \in \Phi(A)$ ならある $z\in A$ により $w = \frac{z-i}{z+i}$ となるが、zが∞でなければある実数xによりz=xと表せるから
$|w| = \|\frac{x-i}{x+i}\|=\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}=1$
となる。z=∞かもしれない。その場合でも
$|w| = \|\frac{z-i}{z+i}\|=\|\frac{1-i/z}{1+i/z}\|=\|\frac{1-i/\infty}{1+i/\infty}\|=1$
と考えればよく、w∈B が言える。ゆえに $\Phi(A) \subset B$ 。

逆に∀w∈Bをとり $w=\Phi(z)=\frac{z-i}{z+i}$ としてこれをzについて解く。w=u + iv (u,v∈R)とすると、ややめんどうな計算により w≠1 であれば
$\displaystyle z=\frac{-2v+(-u^2-v^2+1)i}{(u-1)^2+v^2}$
となる。よって $u^2+v^2=1$ なら z は実数になるが、wは単位円上の点だからこれは成り立つ。ゆえに w≠1であればΦによりwに写される実軸上の点zがあることがわかった。
w=1のときは Φ(∞)=1 なので、∞も実軸上の点としてやれば w∈Φ(A)となる。ゆえに $\Phi(A) \supset B$ である(証明終)。

問1(2)

1次分数変換
$\displaystyle w = \frac{z-i}{z+i}$
は上半平面 $P=\{z|Im(z)\gt 0\}$ を単位円板 $D(0;1)=\{w | |w|\lt 1\}$ に写す。

z=x+iy (x,y∈R)とすると
$\displaystyle \|\Phi(z)\|^2=\frac{x^2+y^2+1-2y}{x^2+y^2+1+2y}$
となるから、z∈Pならy＞0より $\|\Phi(z)\|\lt 1$ となる。
変換Φは上半平面Pを単位円板の内部に写し、同様にして下半平面を単位円板の外部に写すこともわかる。(1)より実軸を単位円の円周に写す。
そして $\Phi\in Aut(S^2)$ だからΦは双正則で単葉なので、Φの定義域をPに制限するとΦはPからD(0;1)への解析同型であることがわかる。

問1(3)

複素平面上に任意に2つの円または直線を与えたとき、その一つを他方に写す1次分数変換が存在する。

これは任意の3点の組 $(z_1,z_2,z_3), (w_1,w_2,w_3)$ が与えられたとき
$R(z_1)=w_1, R(z_2)=w_2, R(z_3)=w_3$
と変換する1次変換が存在することから証明されるという。上のようなRの存在は、 $(w_1,w_2,w_3)$ として特に $(1,0,\infty)$ という組をとったとき、
$\displaystyle S(z) = \frac{z-z_2}{z-z_3}/\frac{z_1-z_2}{z_1-z_3}$
で定義される1次変換が $(z_1,z_2,z_3)$ を $(1,0,\infty)$ に写すことが簡単に確かめられる。そこで $(1,0,\infty)$ を介在させることにより証明される。
上のS(z)を複比と呼び、 $S(z)=[z,z_1,z_2,z_3]$ という記号で表すそうだ。