C(D)に距離を入れる(3)

id:kame_math:20060411 で定義した距離dは次の性質を持つ。

定理5.3(p104)

$\cal{C}(D)$ の点列 $(f_n)$ に対して、次の2つは同値

$\displaystyle lim_{n\rightarrow\infty}d(f_n,f) = 0$

$f_n$ はDで $f$ に広義一様収束する。

定理5.4(p105)

$\cal{C}(D)$ は距離dに関して完備。

証明の論理を追うこと自体は容易。
距離dに関する収束が Dにおける広義一様収束と同じであるということと完備であることが重要らしいのだが、意義がまだ見えず苦しい。
さらにこの後以下のような概念の定義が続く：

いったい何が目的で何をこれからやろうとしているのか。混乱中でしばらく頭の整理の時間が必要になりそうだ。