C(D),H(D)に距離を入れる

次に7ページにわたり、複素平面上の開集合D上の連続関数の空間 $\cal{C}(D)$ と正則関数の空間 $\cal{H}(D)$ に距離を定義して、距離空間としての性質をいろいろ調べる。
けっこう長い。

DがコンパクトのときはD上で連続関数は有界であるから
$\displaystyle d(f,g) =_{def} sup_{z\in D}\|f(z)-g(z)\|$
で距離を定義できるが、Dが開集合のときはうまくいかないので一工夫必要。
そこで開集合Dを近似するコンパクト集合列 $$K_n$_{n\ge 1}$ をうまくとって、各 $\cal{C}(K_n)$ 上での距離を利用して $\cal{C}(D)$ の距離を定義するという方法をとる。