セールの双対定理の証明(4)

$\displaystyle \imath_D : H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D)) \ni \alpha \mapsto $\beta \mapsto \langle\alpha,\beta\rangle = \mathrm{res}(\alpha\beta) $ \in H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D))^{*}$

上記 $\imath_D$ が全射であることの証明のつづき。

$\forall \lambda \in H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D))^{*}$ をとったとき、 $\imath_D(\alpha) = \lambda$ となるような $\alpha \in H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D))$ が存在することを示すのが目標。

$D_n := D - nP$ という因子を導入した。

$\imath_D$ が単射であることはすでに証明されたので、とくに $\imath_{D_n}: H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D_n)) \to H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D_n))^{*}$ も単射。

また上の $\lambda$ を利用して、
$\displaystyle f_n: H^0(X, \mathcal{O}_X(nP)) \ni \varphi \mapsto \varphi\lambda := $\beta \mapsto \lambda(\varphi \beta)$ \in H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D_n))^{*}$
という写像 $f_n$ が定義できるが、これも単射。

$H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D_n))^{*}$ への 2つの単射 $\imath_{D_n}, f_n$ ができた。

$\displaystyle H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D_n)) \longrightarrow_{\text{1:1}}^{\imath_{D_n}} H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D_n))^{*} \longleftarrow_{\text{1:1}}^{f_n} H^0(X, \mathcal{O}_X(nP))$

ここで $\imath_{D_n}$H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D_n))$$ と $f_n$H^0(X, \mathcal{O}_X(nP))$$ が 0以外の共通点を持つと、それを介して $\alpha_n \in H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D_n))$ に対して $\varphi_n := f_n^{-1}\circ\imath_{D_n}(\alpha_n) \in H^0(X, \mathcal{O}_X(nP))$ が定義できる。そこで
$\displaystyle $\mathrm{Im}\imath_{D_n} = \imath_{D_n}\(H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D_n))$\) \cap $ \mathrm{Im} f_n = f_n\(H^0(X, \mathcal{O}_X(nP))$\) \ne \{0\}$
を示したい。リーマンロッホの定理を使うことにより、これを証明することができる。

$\mathrm{Im} \imath_{D_n} \cap \mathrm{Im} f_n \ne \{0\}$ の証明

一般に有限次元線形空間 $A,B,C$ があって $A \subset C, B \subset C$ であるとき、
$\displaystyle \mathrm{dim}A + \mathrm{dim}B \gt \mathrm{dim}C \Rightarrow A \cap B \ne \{0\}$
が成立する。
そこで
$\displaystyle \mathrm{dim} {\mathrm{Im}\imath_{D_n}} + \mathrm{dim} {\mathrm{Im}f_n} \gt \mathrm{dim} H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D_n))^{*}$ を示せばよい。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{dim} \mathrm{Im}\imath_{D_n} &=& \mathrm{dim} H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D_n)) \\ &=& \mathrm{dim} H^0(X, \mathcal{O}_X(K_X -D_n)) \\ &=& 1 - g + \mathrm{deg}(K_X -D_n) + \mathrm{dim} H^1(X, \mathcal{O}_X(K_X -D_n)) \text{ (by Riemann-Roch)} \\ &\ge& 1 - g + \mathrm{deg}(K_X -D_n) \\ &=& 1 - g + \mathrm{deg}(K_X - D + nP) \\ &=& 1 - g + \mathrm{deg}K_X - \mathrm{deg}D + \mathrm{deg}(nP) \\ &=& 1 - g + \mathrm{deg}K_X - \mathrm{deg}D + n \\ \end{eqnarray}$

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{dim} \mathrm{Im}f_n &=& \mathrm{dim} H^0(X,\mathcal{O}_X(nP)) \\ &=& 1 - g + \mathrm{deg}(nP) + \mathrm{dim} H^1(X, \mathcal{O}_X(nP)) \text{ (by Riemann-Roch)} \\ &\ge& 1 - g + \mathrm{deg}(nP) \\&=& 1 - g + n \end{eqnarray}$

ゆえに

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{dim} \mathrm{Im}\imath_{D_n} + \mathrm{dim} \mathrm{Im}f_n &\ge& $1 - g + \mathrm{deg}K_X - \mathrm{deg}D + n$ + $1 - g + n$ \\ &=& 1 - g + \mathrm{deg}K_X - \mathrm{deg}D + n + 1 - g + n \\&=& 2n + $2(1 - g) + \mathrm{deg}K_X - \mathrm{deg}D$ \\&=& 2n + C \end{eqnarray}$

ここで $C$ は n によらない定数。

いっぽう、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathrm{dim} H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D_n))^{*} &= & \mathrm{dim} H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D_n)) \\ &=& \mathrm{dim} H^0(X, \mathcal{O}_{X}(D_n)) - \{1-g+ \mathrm{deg}D_n\} \text{ (by Riemann-Roch)} \\&=& \mathrm{dim} H^0(X, \mathcal{O}_{X}(D_n)) - \{1-g+ \mathrm{deg}$D - nP$\} \\ &=& \mathrm{dim} H^0(X, \mathcal{O}_{X}(D_n)) - \{1-g+ \mathrm{deg}D - n\} \\ &=& \mathrm{dim} H^0(X, \mathcal{O}_{X}(D_n)) - \mathrm{deg}D + n - (1-g) \end{eqnarray}$