セールの双対定理の証明(1)

この証明は長い。テキストではこの後7ページ以上がこの証明に費されている。ポイントとなる点をメモしておきたい。

$H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D))$ と $H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D))^{*}$ が以下の写像 $\imath_D$ により同型であることを示せばよい。

$\displaystyle \imath_D : H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D)) \ni \alpha \mapsto $\beta \mapsto \langle\alpha,\beta\rangle = \mathrm{res}(\alpha\beta) $ \in H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D))^{*}$

$\imath_D$ が単射であること

$\forall \omega \in H^0(X,\Omega_{X}^{1}(-D))$ をとったとき、 $\omega \ne 0$ であれば $\imath_D(\omega) \ne 0$ であることを示せば $\imath_D$ は単射となる。
$\imath_D(\omega) \ne 0$ であるためには、 $\eta \in H^1(X, \mathcal{O}_{X}(D))$ で
$\displaystyle $\imath_D(\omega)$(\eta) = \langle \omega, \eta \rangle = \mathrm{res}(\omega\eta) \ne 0$
となるものが存在することを示せばよい。
微分1形式 $\omega$ が局所座標で $fdz$ と表されたとすると $\omega\eta = f\eta dz$ となるが、これが留数写像 $\mathrm{res}$ により $0$ 以外の値をとるように有理型関数 $\eta$ をうまく選べばよい。そこで $\frac{dz}{z}$ の原点における(普通の関数論における意味の)留数が1すなわち0でないことを利用して、 $\eta$ の局所座標表示が $\frac{z}{f}$ となるように選べば、うまいこと局所的に $\mathrm{res}(\omega\eta) = \rm{res}$\frac{dz}{z}$\ne 0$ となってくれて、目的を達成できる。

つづく