積分曲線と1パラメータ変換群

松本「多様体の基礎」§17「積分曲線」の読書メモ。

以降 M を m次元 $C^{\infty}$ 級多様体、X を M の $C^{\infty}$ 級ベクトル場とする。
M の $C^{\infty}$ 級ベクトル場全体を $\cal{X}(M)$ と表す。

$\forall{t} \in (a,b)$ について $\frac{dc}{dt}\|_{t} = X_{c(t)}$ が成立するとき、 $c:(a,b) \to M$ が X の積分曲線であるという。
c, X の局所座標表示を $c(t) = (x_1(t),\cdots,x_m(t))$ , $X = \sum_{i=1}^{m} {\xi_i(\frac{\partial}{\partial{x_i}})}$ ( $\xi_i \in C^{\infty}(M)$ )とすると、関数 $x_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は微分方程式 $\frac{d x_i(t)}{dt} = \xi_i(x_1(t),\cdots,x_m(t))}$ を満たさなければならない。
上の微分方程式は初期条件 $c(0)$ を決めてやれば、ε＞0 を十分小さくとれば $-\varepsilon \lt t \lt \varepsilon$ の範囲で解を持つ。(常微分方程式の解の存在定理)
上の微分方程式の解 x(t), y(t) の初期値が等しいとき、x と y の定義域の共通部分において x = y。(解の一意性)
∀p∈M を初期値とするベクトル場 X の積分曲線 c(t) の定義域を $\mathbb{R}$ 全体に延長できるとき、X を完備なベクトル場という。
M がコンパクトなら、 $\forall X \in \cal{X}(M)$ は完備。
M がコンパクトのとき、∀p∈M を初期値とする X の積分曲線 c(t,p) が存在する。X は完備だから、すべての実数 t について c(t,p) が定義されている。
$\varphi_t(p) = c(t,p)$ と定義すると、 $\varphi_t$ は M から M へ $C^{\infty}$ 級微分同相写像で、 $\varphi_t(0) = p$ 、 $\varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s$
$t \in \mathbb{R}$ に $C^{\infty}$ 級微分同相写像 $\varphi_t$ が対応し、 $\varphi_t(0) = id_{M}$ 、 $\varphi_{t+s} = \varphi_t \circ \varphi_s$ 、 $(t,p) \mapsto \varphi_{t}(p)$ が $C^{\infty}$ 級、であるとき、 $\{\varphi_{t}\}_{t \in \mathbb{R}}$ を M の 1パラメータ変換群という。