外微分

多様体

§20に入る。
まず微分形式ωの外微分 dω が座標系に依存した形で定義される。
M を C^{\infty}級多様体、 \omegaを M 上の k次微分形式とし、座標近傍 (U; x_1,\cdots, x_m)上で\omegaを局所座標表示したものが
\displaystyle \omega = \sum_{i_1 \lt \cdots \lt i_k} f_{i_1 \cdots i_k} dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}
であるとき、ωの外微分 dωは以下で定義される k+1次微分形式のこと。
\displaystyle d\omega = \sum_{i_1 \lt \cdots \lt i_k} df_{i_1 \cdots i_k} \wedge dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}

これが座標系に依存しないことはこの後に証明される。

f_{i_1 \cdots i_k} は M 上の C^{\infty}級実関数であるので、
\displaystyle df_{i_{l}} = \sum_{r=1}^{m} \frac{\partial f_{i_{l}}}{\partial x_{r}} dx_r
と表されるから、U 上では局所座標表示を用いて外微分dωを簡単に計算することができる。


外微分dωが座標系に依存せずに定義できることは、次の定理が成立することからわかる。これを外微分dωの定義としている本もあるようだ。
\displaystyle \begin{eqnarray} d\omega(X_1,\cdots,X_{k+1}) & = & \sum_{i=1}^{k+1} \(-1\)^{i+1} X_i\(\omega\(X_1,\cdots,\hat{X_i},\cdots,X_{k+1}\)\) \\ & + & \sum_{i \lt j} \(-1\)^{i+j} \omega\([X_i,X_j],X_1,\cdots,\hat{X_i},\cdots,\hat{X_j},\cdots,X_{k+1}\) \end{eqnarray}

上の定理はテキストでは§末に後回しなので後で証明は確認することにして、k=1,2 の場合くらいどういう式なのか確認しておく。添え字が面倒なので、ベクトル場をX,Y,Z で表すことにする。

k=1の場合：
\displaystyle d\omega(X,Y) = X\(\omega\(Y\)\)- Y\(\omega\(X\)\) - \omega\([X,Y]\)

k=2の場合：
\displaystyle d\omega(X,Y,Z) = X\(\omega\(Y,Z\)\) -Y\(\omega\(X,Z\)\) + Z\(\omega\(X,Y\)\)- \omega\([X,Y],Z\) + \omega\([X,Z],Y\) - \omega\([Y,Z],X\)

あってるかな？
ちなみに \omega\(Y\) は M の各元pに対して \omega_p\(Y_p\) を対応させる写像で、 \omega_pはT_p(M)上の関数だから \omega_p\(Y_p\) は実数。すなわち \omega\(Y\) は M 上の実数値関数である。このM上の実数値関数を X方向に微分したものが X\(\omega\(Y\)\)。
X\(\omega\(Y\)\)\(p\) は関数 \omega\(Y\) の点pにおける(X方向の)微分係数で実数となる。

公式いくつか

  • \displaystyle d(\omega \wedge \eta) = (d\omega) \wedge \eta + \(-1\)^{k} \omega \wedge d\eta
  • \displaystyle d(d\omega) = 0
  • \displaystyle d(\varphi^{*}\omega) = \varphi^{*}(d\omega)