共変微分

微分幾何

ベクトル束Eの線形接続を利用して、E 上の切断 s と M 上の接ベクトル場 X に対し、s の X による共変微分 \nabla_X s が次のように定義される：

\displaystyle \nabla_X s = \(\nabla s, X\)


この記号 \(\nabla s, X\)のことを T^{*}Mと TMの縮約と呼ぶらしい。 \nabla sは Eに値を取る1次微分形式、すなわち接ベクトルを引数として E に値を取る関数だから \(\nabla s\)\(X\) \in Eとなる。これを内積風の記号を使って \(\nabla s, X\)と表すらしい。


もし E = M \times \mathbb{R}のランク1の自明なベクトル束なら、
\displaystyle \nabla_X s = \(\nabla s, X\) = ds(X) = Xs。