複素接ベクトル空間

X をリーマン面とし、P ∈ X とする。以下 X と P を固定する。
f を Pの近傍 V で定義された複素数値 $C^{\infty}$ 級関数とする。
そして $C^{\infty}$ 級関数 f とその定義域のセット
$\displaystyle $f, V$$
を考える。このような $C^{\infty}$ 級関数とその定義域の対全体の集合を考え、それを $\cal{A}$ という記号で表す。
$\cal{A}$ の2つの元
$\displaystyle $f_1, U_1$, $f_2, U_2$ \in \cal{A}$
をとる。
P のある近傍 V が存在して、 $V \subset U_1 \cap U_2$ であり $f_1|_{V} = f_2|_{V}$ となるとき、 $f_1, U_1\), \(f_2, U_2$ は同値であるという。この同値関係〜に関する $\cal{A}$ の商集合 $\cal{A}/{\sim}$ を
$\displaystyle \cal{A}^{0}_{X,P}$
という記号で表し、 $\cal{A}^{0}_{X,P}$ の元を P における $C^{\infty}$ 級関数の芽と呼ぶ。

$C^{\infty}$ 級微分可能多様体のときと同じようにリーマン面X の点 P における複素接ベクトル空間が定義できる。
すなわち、P での微分作用素全体の集合を
$\tilde{T}_{X}(P)$
と書き、X の点 P における複素接ベクトル空間という。

P での微分作用素とは、 $\cal{A}^{0}_{X,P}$ 上の複素数値関数
$\displaystyle v: \cal{A}^{0}_{X,P} \to \mathbb{C}$
であって、以下の(1)(2)を満たすものとして定義される。
(1) $v(af+bg) = a v(f)+b v(g)$ (線形性)
(2) $v(f g) = f(P) v(g)+ v(f)g(P)$ (ライプニッツ則)
上で、a,b は任意の複素数、f,g は任意の $C^{\infty}$ 級関数の芽について成立するものとする。

$C^{\infty}$ 級微分可能多様体のときと同様に、 $\tilde{T}_{X}(P)$ の基底として、
$\displaystyle $ \frac{\partial}{\partial x} $_{P}, $ \frac{\partial}{\partial y} $_{P}$
が取れることが簡単に確かめられる。
(ただし Pのまわりの局所座標を z としたとき $z = x + \sqrt{-1} y$ とする)

余接ベクトル空間

さらに $C^{\infty}$ 級微分可能多様体のときと同様に、接ベクトル空間の双対空間を余接ベクトル空間という。すなわち、リーマン面 X の点P における複素接ベクトル空間 $\tilde{T}_{X}(P)$ に対し、その双対空間
$\tilde{T}^{*}_{X}(P) := Hom_{\mathbb{C}}$\tilde{T}_{X}(P), \mathbb{C}$$
のことをリーマン面 X の点P における複素余接ベクトル空間という。

$\tilde{T}_{X}(P)$ の基底 $$ \frac{\partial}{\partial x} $_{P}, $ \frac{\partial}{\partial y} $_{P}$ の双対基底を
$$dx$_P, $dy$_P$
と書く。これは $\tilde{T}^{*}_{X}(P)$ の基底をなす。

Pの近傍で定義された $C^{\infty}$ 級関数f が与えられたとき、f は以下のような $\tilde{T}_{X}(P)$ 上から $\mathbb{C}$ への写像を定める。
$\tilde{T}_{X}(P) \ni v \mapsto v$[f]$ \in \mathbb{C}$
この写像を P における f の外微分、もしくは全微分といい、 $$df$_P$ と書く。

fの外微分に関し以下が成り立つ。

$\displaystyle $df$_P = \frac{\partial f}{\partial x}$P$ $dx$_P + \frac{\partial f}{\partial y}$P$ $dy$_P$

このあたりまでは「多様体の基礎」の復習になる。