k次微分形式 - 第2kame日記

§19に入る。1次微分形式の復習をしながらk次微分形式のお勉強。
1次微分形式は $T_p(M)$ 上の1次形式であったが、k次微分形式は単純に $T_p(M) \times \cdots \times T_p(M)$ 上のk次線型形式であるわけではないらしい。多様体Mの各元pにM上のk次線型形式を対応させる対応を k次共変テンソル場と呼ぶそうだ。1次微分形式は 1次共変テンソル場であるが、k次(k≧2)の場合は、もう少し条件をつけたものを微分形式と呼ぶらしい。

§19は、§18でやったいろいろな概念の復習になりそうだ。
§18でやったことを書かなかったから、少しメモしておく。

余接空間は接空間の双対空間
その基底は接空間の基底 $(\frac{\partial}{\partial x_i})_p$ の双対基底として $(dx_i)_p$ である
1次微分形式は $M \to T_p^{*}(M)$ という対応である。
$T_p^{*}(M)$ の元は $(dx_i)_p$ の関数倍の一次結合であらわせるから、1次微分形式は $\omega = \sum_{i}f_i dx_i$ と局所座標表示される。