ベクトル場(2) - 第2kame日記

2つの多様体間の微分同相写像とその微分、ベクトル場、M上の関数の空間などがごっちゃになり混乱中。整理してみよう。

M,N を $C^{\infty}$ 級多様体、 $\varphi:M \to N$ を $C^{\infty}$ 級微分同相写像とする。
M に関係して

$T_p(M)$	接空間
$\cal{X}(M)$	$C^{\infty}$ 級ベクトル場
$C^{\infty}(M)$	M上の $C^{\infty}$ 級関数の空間

が出てくる。これらの間にいろいろな関係がある。

$C^{\infty}$ 級微分同相写像 $\varphi:M \to N$ に対応して、上の各空間の間に次のような写像が定義される。

$(d\varphi)_{p}: T_p(M) \rightarrow T_p(N)$
$\varphi_{*}: \cal{X}(M) \rightarrow \cal{X}(N)$
$\varphi^{*}: C^{\infty}(M) \leftarrow C^{\infty}(N)$

$\cal{X}(M)$ の元が $M \rightarrow T_p(M)$ の写像であり $C^{\infty}(M)$ に作用する。

M上のベクトル場 X を N上のベクトル場に写したものが、
$({\varphi}_{*}X)_{\varphi(p)}=(d\varphi)_p(X_p)$
と定義されている(p234)。図を書いてみたら、どうしてこういう定義になっているのかやっと納得できた。

　　　 $\varphi$ 　　

$M$ ∋ $p$ → $\varphi(p)$ ∈ $N$

　 $X$ ↓ 　 ↓ ${\varphi}_{*}X$ 　

$T_p(M)$ ∋ $X_p$ → $({\varphi}_{*}X)_{\varphi(p)}$ ∈ $T_p(N)$

　　　 $(d\varphi)_p$ 　　

公式
$X({\varphi}^{*}f) = {\varphi}^{*} $({\varphi}_{*} X)(f)$$
の意味も図にすると次のようになる。

　　　　 ∈ $C^{\infty}(M)$ 　　　

$\cal{X}(M)$ ∋ $X$ : ${\varphi}^{*}f$ → $X({\varphi}^{*}f)$ ∈ $C^{\infty}(M)$

　 ${\varphi}_{*}$ ↓ 　　　 ↑ ${\varphi}^{*}$ 　

$\cal{X}(N)$ ∋ ${\varphi}_{*}X$ : $f$ → $({\varphi}_{*}X)f$ ∈ $C^{\infty}(N)$

　　　　 ∈ $C^{\infty}(N)$ 　　　

			$\varphi$
$M$	∋	$p$	→	$\varphi(p)$	∈ $N$
	$X$	↓		↓ ${\varphi}_{*}X$
$T_p(M)$	∋	$X_p$	→	$({\varphi}_{*}X)_{\varphi(p)}$	∈ $T_p(N)$
			$(d\varphi)_p$

				∈ $C^{\infty}(M)$
$\cal{X}(M)$	∋	$X$	:	${\varphi}^{*}f$	→	$X({\varphi}^{*}f)$	∈ $C^{\infty}(M)$
	${\varphi}_{*}$	↓				↑ ${\varphi}^{*}$
$\cal{X}(N)$	∋	${\varphi}_{*}X$	:	$f$	→	$({\varphi}_{*}X)f$	∈ $C^{\infty}(N)$
				∈ $C^{\infty}(N)$