R^mのベクトル場 - 第2kame日記

誤解していた箇所をいくつか訂正(2/4)。
$\bf{x}=(x_1,\cdots,x_m) \in \mathbb{R}^{m}$ に対し $T_{\bf{x}}(\mathbb{R}^{m})$ の元を対応させる写像が $\mathbb{R}^{m}$ のベクトル場。
$T_{\bf{x}}(\mathbb{R}^{m})$ の元は、 $a_1,\cdots,a_m \in \mathbb{R}$ を用いて
$\sum_{i}{a_i$ \frac{\partial}{\partial{x_i}} $_{\bf{x}}}$
と表せる。
$f$ を $\mathbb{R}^{m}$ 上の $C^{\infty}$ 級関数とすると、 $\frac{\partial{f}}{\partial{x_i}} \in C^{\infty}(\mathbb{R}^m)$ により、以下のような $\mathbb{R}^{m}$ のベクトル場 $X$ が定義できる。
$X = \sum_{i}{$ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}$$ \frac{\partial}{\partial{x_i}}$$
$\bf{x} \in \mathbb{R}^{m}$ を X で写したものは、
$X_{\bf{x}} = \sum_{i}{$ \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}(\bf{x}) $$ \frac{\partial}{\partial{x_i}} $_{\bf{x}}}$
となる。
このベクトル場 $X$ を $f$ の勾配といい、 $grad {f}$ で表す。

$\mathbb{R}^2$ の具体例を考えてみる。
$f(x,y) = 2x^{2} + y$ の場合、点 $p = (a,b)$ における勾配を上の定義通りに計算してみると、
$(grad {f})_{p} = \frac{\partial{f}}{\partial{x}}(a,b)$ \frac{\partial}{\partial{x}} $_{(a,b)} + \frac{\partial{f}}{\partial{y}}(a,b)$ \frac{\partial}{\partial{y}} $_{(a,b)}$
$= (2x)(a,b)$ \frac{\partial}{\partial{x}} $_{(a,b)} + (1)(a,b)$ \frac{\partial}{\partial{y}} $_{(a,b)} = (2a)$ \frac{\partial}{\partial{x}} $_{(a,b)} + (1)$ \frac{\partial}{\partial{y}} $_{(a,b)$
ここで $T_{(a,b)}(\mathbb{R}^2)$ の元を基底 $$\frac{\partial}{\partial{x}} $_{(a,b)},$\frac{\partial}{\partial{y}} $_{(a,b)}$ に関する成分で表示すると、
$(grad {f})_{p} = (2a, 1)$
となって、ベクトル解析で出てくる結果と一致する。