1次微分形式 - 第2kame日記

松本「多様体の基礎」第6章 §18 1次微分形式に入る。

$C^{r}$ 級多様体 M の点 p における接空間 $T_p(M)$ の双対空間を $T_p^{*}(M)$ という記号で表して、これを M の p における余接ベクトル空間という。
M の各元 p に $T_p^{*}(M)$ の元 $\omega_p$ を対応させる写像 $\omega$ を M 上の 1次微分形式というそうだ。

最初にあげられている 1次微分形式の例は M 上の $C^{r}$ 級関数 $f: M \to \mathbb{R}$ の全微分 df である。
fの微分 $(df)_p: T_p(M) \to T_{f(p)}(\mathbb{R})$ の値域 $T_{f(p)}(\mathbb{R})$ は、その元を $\mathbb{R}$ の座標y で $a(\frac{d}{dy})_{f(p)}$ と表したときに $a(\frac{d}{dy})_{f(p)} \Leftrightarrow a \in \mathbb{R}$ という対応により $\mathbb{R}$ と同一視することができる。
これにより $(df)_p$ を $(df)_p: T_p(M) \to \mathbb{R}$ とみると、 $(df)_p \in T_p^{*}(M)$ とみなせるから、対応 $df: M \ni p \mapsto (df)_p \in T_p^{*}(M)$ は M 上の 1次微分形式である。