R^mのベクトル場(2) - 第2kame日記

点 $p \in \mathbb{R}^m$ における任意の接ベクトル $\bf{v}_p \in T_{p}(\mathbb{R}^m)$ の、 $T_{p}(\mathbb{R}^m)$ の基底 $(\frac{\partial}{\partial{x_1}})_p, \cdots, (\frac{\partial}{\partial{x_m}})_p$ に関する成分が $(v_1, \cdots, v_m)$ であったとする。 $\forall f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^m)$ に対して、
$\bf{v}_p(f) = \sum_{i=1}^{m} v_i \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}(p)$
であったから、ベクトル空間 $T_{p}(\mathbb{R}^m)$ の内積を使って、
$\bf{v}_p(f) = \bf{v}_p \cdot (grad f)_p$
と表せる。 $\bf{v}_p(f)$ は f の p方向の方向微分であった。そこで、 $f(\bf{x})$ が一定であるような集合の上では $\bf{v}_p(f)$ は 0 になる。このとき、 $\bf{v}_p$ と $(grad f)_p$ は直交することになる。
$f(\bf{x})$ が一定であるような $\mathbb{R}^m$ の部分集合 $f(\bf{x}) = c$ を f の等位面と呼ぶようだ。c が f の正則値なら前§でやった定理により等位面は(m-1)次元部分多様体となっている。そして $(grad f)_p$ は等位面の接平面に直交するようなベクトルになっている。