射影曲線(2) - 第2kame日記

同次座標⇔非同次座標の変換とか、慣れないと混乱して計算途中でわけ判らなくなることしばしば。

$\mathbb{P}^2$ の元は $[a:b:c]$ という形に表される。
$a \neq 0$ のときは $[a:b:c] = [1: \frac{b}{a}: \frac{c}{a}]$ となり、この形の元は $\mathbb{C}^2$ と1:1に対応していた。 $b \neq 0, c \neq 0$ のときも同様であって、
$\displaystyle U := (X \neq 0)$
$\displaystyle V := (Y \neq 0)$
$\displaystyle W := (Z \neq 0)$
とおくと $U,V,W$ はそれぞれ $\mathbb{C}^2$ と同相になり
$\displaystyle \mathbb{P}^2 = U \cup V \cup W$
と $\mathbb{P}^2$ は 3枚の座標近傍に覆われる。

$\displaystyle C := $F_m(X,Y,Z) = 0 $ \subset \mathbb{P}^2$

で定義されるm次射影曲線 $C$ を上の $U,V,W$ に制限すると、3つのアフィン曲線が得られる：

$\displaystyle C \cap U : f(y,z) = F_m$1,\frac{Y}{X},\frac{Z}{X}$ = 0$
$\displaystyle C \cap V : g(x,z) = F_m$\frac{X}{Y},1,\frac{Z}{Y}$ = 0$
$\displaystyle C \cap W : h(x,y) = F_m$\frac{X}{Z},\frac{Y}{Z},1$ = 0$

射影曲線 $C$ が非特異ということは、上の3つのアフィン曲線が非特異であるということと同値。
これを確かめるのに $X,Y,Z$ で偏微分したり $x,y,z$ で微分したりしているうちにぐちゃぐちゃになりがちで難しい。