コンパクトリーマン面の位相分類定理

任意のコンパクトリーマン面 $X$ はいずれかの $\Sigma_{\pi}$ ( $\pi$ は0以上の整数)と同相であることが述べられている。
$\Sigma_{0}$ : 2次元球面
$\Sigma_{1}$ :トーラスの表面
$\Sigma_{2}$ :穴の2個開いたトーラスの表面
:
$\Sigma_{\pi}$ :穴の $\pi$ 個開いたトーラスの表面
このテキストではトポロジーの基礎は既知としており証明なし。

上を事実として認めることにより、§4.4で定義された超楕円曲線
$\displaystyle C_{2g+2} := $ y^2 = (x-a_1)\cdots(x-a_{2g+2})$$
が $\Sigma_{2g+2}$ と同相であることが示せるようである。これを示すことが問題4.20 となっている。
$C_{2g+2}$ のオイラー数が $2-2g$ であることを

$\mathbb{P}^1$ のオイラー数は2

$\pi: C_{2g+2} \to \mathbb{P}^1$ は $a_1,\cdots,a_{2g+2}$ を分岐点とする2重被覆写像

という事実に着目して示せるそうである。どうやって示せるのか、しばらく考えてみることにする。

ちゃんと理解すると回り道になってしまいそうなので、とりあえず直観的な理解ですましてしまうことにしたい。
ちょっと考えてみたら、次のような理解でつじつまが合いそうだが、どうだろうか。

まず $g=0$ の場合を考えてみる。このときは $2g+2=2$ となって
$\displaystyle C_{2} := $ y^2 = (x-a_1)(x-a_{2})$$
という超楕円曲線を考えることになる。
$\pi: C_{2} \to \mathbb{P}^1$ は $a_1,a_2$ の2点を分岐点とする2重被覆写像である。
そこで $\pi^{-1}$\mathbb{P}^1$ = A \cup B$ と $C_{2}=\pi^{-1}$\mathbb{P}^1$$ は分割され $A,B$ それぞれは $\mathbb{P}^1$ と同相であるようにできる。 $\mathbb{P}^1$ のオイラー数は2 ということから、 $A,B$ のオイラー数もそれぞれ 2。
ここで $\pi: C_{2} \to \mathbb{P}^1$ の分岐点は異なる2点 $a_1,a_2$ であるから、 $A,B$ の共通部は $a_1,a_2$ の2点のみ。したがって $A$ と $B$ それぞれを3角形分割したとき、それらは 2点のみで交わる。すなわち3角形の頂点2つだけを共有する。
そこで、 $A \cup B$ のオイラー数は、 $A$ のオイラー数と $B$ のオイラー数の和から重複する頂点2つ分の 2を引いた値となる。
$A \cup B \simeq C_{2}$ だから $C_{2}$ のオイラー数は、 $2 + 2 - 2 = 2$ 。
以下、 $g =1,2,\cdots$ と増えた場合も同じように考えて、今度は分岐点は異なる(2g+2)点 $a_1,\cdots,a_{2g+2}$ であることから、 $C_{2g+2}$ のオイラー数は
$2 + 2 - (2g+2) = 2-2g$
になるのだろう。