ホモロジーおぼえがき

対 $G \supset H$ と $G/H$ が対応していると考えるのがコツのような気がしてきた。

例

$\displaystyle 0 \rightarrow A \rightarrow X \rightarrow X/A \rightarrow 0$ は完全。
chain complex $C,C',C''$ の短完全系列 $\displaystyle 0 \rightarrow C \rightarrow C' \rightarrow C'' \rightarrow 0$ からホモロジーの長完全系列 $\displaystyle \cdots \rightarrow H_r(C) \rightarrow H_r(C') \rightarrow H_r(C'') \rightarrow^{\partial} H_{r-1}(C) \rightarrow \cdots$ ができる。
上で $C=A, C'=X, C''=X/A$ とすれば $\displaystyle \cdots \rightarrow H_r(A) \rightarrow H_r(X) \rightarrow H_r(X/A) \rightarrow^{\partial_*} H_{r-1}(A) \rightarrow \cdots$ で、 $r\neq 0$ のとき $\displaystyle H_r(X/A)=H_r(X,A)$ だから $\displaystyle \cdots \rightarrow H_r(A) \rightarrow H_r(X) \rightarrow H_r(X,A) \rightarrow^{\partial_*} H_{r-1}(A) \rightarrow \cdots$

だからある図形のホモロジーを計算するとき、その一部を一点につぶした図形と、つぶされた部分のホモロジーが既知であれば、ホモロジーが計算できるということのようだ。成る程成る程。

$X \supset A \supset B$ なる3対(X,A,B)の場合

X	■	■	■
A	■	■	□
B	■	□	□

↑これより、こうなる↓

X/A	□	□	■
X/B	□	■	■
A/B	□	■	□

上の図から $(A/B)\oplus(X/A)=(X/B)$ だと思えば、
$\displaystyle 0 \rightarrow C(A/B) \rightarrow C(X/B) \rightarrow C(X/A) \rightarrow 0$
が完全系列になるのは自然なことに思える。したがって下の長完全系列も自然に見える。

$\displaystyle \cdots \rightarrow H_r(A,B) \rightarrow^{i_*} H_r(X,B) \rightarrow^{j_*} H_r(X,A) \rightarrow^{\partial_*} H_{r-1}(A,B) \rightarrow \cdots$