セールの双対定理の証明(2)

前のつづき。具体的に
$\displaystyle \mathrm{res}$[\frac{dz}{z}]$$
を計算する作業を行う。

$\frac{dz}{z}$ を基に、大域的 $C^{\infty}$ 1形式をうまく作ってGreenの定理を使えるように持っていくのがコツらしい。

点 $P \in X$ の開近傍 $U_P$ を因子 $D$ のサポートと交わらないように十分小さくとる。 $z$ を $U_P$ の局所座標で $z(P)=0$ となるようなものとする。
$\displaystyle U_0 := U_P$
$\displaystyle U_1 := X - \{P\}$
とおくと、 $\mathcal{U} := $U_0, U_1$$ は $X$ の開被覆となるが、この $\mathcal{U}$ に関するチェックコホモロジーを利用して、 $\mathrm{res}$[\(\frac{dz}{z}$]\)$ を計算する。

$[$\frac{dz}{z}$] \in H^1(X,\Omega_{X}^{1})$ は包含写像
$\displaystyle \imath: H^1(X,\Omega_{X}^{1}) \rightarrow H^1(X,\mathcal{A}_{X}^{1,0})$
によって $H^1(X,\mathcal{A}_{X}^{1,0})$ の元に写される。ところが $H^1(X,\mathcal{A}_{X}^{1,0}) = 0$ であり、 $H^1(X,\mathcal{A}_{X}^{1,0}) = Z^1(X,\mathcal{A}_{X}^{1,0}) / B^1(X,\mathcal{A}_{X}^{1,0})$ であったから、 $$\frac{dz}{z}$ \in B^1(X,\mathcal{A}_{X}^{1,0})$ とみなせる。
$\mathcal{U}$ を利用すると、 $\frac{dz}{z}$ は $U_{01}:= U_0 \cap U_1$ 上の $C^{\infty}$ 級(1,0)形式であって、 $B^1(\mathcal{U}, \mathcal{A}_{X}^{1,0}) = \delta B^0(\mathcal{U}, \mathcal{A}_{X}^{1,0})$ の元であるから、 $U_{01}$ 上、
$\displaystyle \frac{dz}{z} = \delta(\tau_i) := \tau_1 - \tau_0$
を満たすような $U_0$ 上の $C^{\infty}$ 級(1,0)形式 $\tau_0$ および $U_1$ 上の $C^{\infty}$ 級(1,0)形式 $\tau_1$ が存在する。これから、 $U_{01}$ 上

$\displaystyle \tau_0 = \tau_1 - \frac{dz}{z}$

ここで左辺は $U_0$ 上の $C^{\infty}$ 級(1,0)形式、右辺は $X-\{P\}$ で定義された $C^{\infty}$ 級(1,0)形式。ほんとはこの2つを貼り合わせて、 $X$ 上大域的な $C^{\infty}$ 級(1,0)形式を作りたい。しかし、 $P$ で定義されていない。そこでまず上の2つを貼り合わせ、 $X-\{P\}$ 上の $C^{\infty}$ 級(1,0)形式 $\tau_P$ を作っておき、さらにこれを元にしてうまいこと $X$ 全体で $C^{\infty}$ 級な (1,0)形式を作るようにもっていく。

これを $P$ のごく小さい近傍 $V_P$ 上で $1$ をとり、 $U_0$ の外では $0$ をとる $C^\infty$ 級関数 $\varphi$ が存在する(そのような関数は1の分解を用いて作れる)。これを使って $\varphi_P := 1-\varphi$ と定義する。 $\varphi_P$ は $V_P$ 上で $0$ をとり、 $U_0$ の外では $1$ をとる $C^\infty$ 級関数であり、これを利用して $C^\infty$ 級につなげることにより、 $\varphi_P \tau_P$ を $X$ 全域で定義された $C^{\infty}$ 級な (1,0)形式とみなすことができる。

また、 $\tau_0 - \tau_1 = \frac{dz}{z} $\text{on} U_{01}$$ を $d$ で写すことによって
$\displaystyle d\tau_0 = d\tau_1$ が $U_{01}$ 上で成立。よって $d\tau_0 \in \mathcal{A}_X^2(U_0)$ と $d\tau_1 \in \mathcal{A}_X^2(U_1)$ は貼り合わされて $\alpha \in \mathcal{A}_X^2(X)=H^0(X,\mathcal{A}_X^2)$ で $\alpha|_{U_i}=d\tau_i$ を満たすものを定める。

上で作った $\tau_P \in \mathcal{A}_X^{0,1}(X-\{P\})$ を $d:H^0(X,\mathcal{A}_X^{0,1}) \rightarrow H^0(X,\mathcal{A}_X^{2})$ で写すと、 $X-\{P\}$ 上の $C^{\infty}$ 級2形式 $\alpha := d\tau_P \in \mathcal{A}_X^{2}(X-\{P\})$ ができる。
また $\varphi_P \tau_P \in \mathcal{A}_X^{0,1}(X)$ を $d$ で写すと、 $X$ 上の $C^{\infty}$ 級2形式 $d(\varphi_P\tau_P) \in \mathcal{A}_X^{2}(X)$ が得られる。

このとき
$\displaystyle \alpha = d\tau_P = d$(\varphi_P+\varphi)\tau_P$=d(\varphi_P\tau_P)+d(\varphi\tau_P)$
$\alpha, d(\varphi_P\tau_P)$ は $X$ 全体で定義されている。 $d(\varphi\tau_P)$ については $\varphi$ が $V_P$ 上1であるので、 $V_P-\{P\}$ 上、 $d(\varphi\tau_P)=d(\tau_0 - \frac{dz}{z})=d\tau_0$ 。 $\tau_0\in \mathcal{A}_X^{1,0}(U_0)$ だったから $d\tau_0$ は $V_P$ で $C^{\infty}$ 級な2形式。そこで $P$ 上 $d(\varphi\tau_P)(P)=d\tau_0(P)$ と定義すれば、 $d(\varphi\tau_P)$ は $V_P$ 全体で $C^{\infty}$ 級に延長され、さらに $X$ 全体に延長される。
このようにして $\alpha \in H^0(X,\mathcal{A}_X^2)$ を $P$ の近傍で0な $C^\infty$ 級(1,0)形式の外微分と、 $P$ の近傍外で0で $C^\infty$ 級(1,0)形式の外微分に分割することがポイントのようだ。

以上で $\mathrm{res}$[\frac{dz}{z}]$$ を計算する準備が整った。定義により

$\displaystyle \mathrm{res}$[\frac{dz}{z}]$ = \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\iint_X \alpha$

であるが、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \iint_X \alpha &= & \iint_X $d(\varphi_P\tau_P)+d(\varphi\tau_P)$ \\ &=& \iint_X d(\varphi_P\tau_P) + \iint_X d(\varphi\tau_P) \\&=& \int_{\partial X} \varphi_P\tau_P + \iint_X d(\varphi\tau_P) \\&=& \iint_{U_0}d(\varphi\tau_P)\\&=& \iint_{U_0}d$\varphi\(\tau_0 - \frac{dz}{z}$\) \\&=& \lim_{\varepsilon \to 0}\iint_{\varepsilon \le |z| \le R} d$\varphi\(\tau_0 - \frac{dz}{z}$\) \\&=& \int_{|z|=R}\varphi$\tau_0 - \frac{dz}{z}$ - \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{|z|=\varepsilon}\varphi$\tau_0 - \frac{dz}{z}$ \\&=& - \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{|z|=\varepsilon}(\tau_0 - \frac{dz}{z}\) \\&=& - \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{|z|=\varepsilon}\tau_0 + \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{|z|=\varepsilon}\frac{dz}{z} \\&=& \lim_{\varepsilon \to 0}\int_{|z|=\varepsilon}\frac{dz}{z} \\&=&2\pi\sqrt{-1}\end{eqnarray}$

グリーンの定理(ストークスの定理)をうまく適用できる条件にするために切った張ったを行ってたいへん技巧的である。

以上から $\mathrm{res}$[\frac{dz}{z}]$=1\ne 0$ が言えた//